Drgania harmoniczne — teoria

Drgania to powtarzający się ruch tam i z powrotem wokół położenia równowagi. W tym położeniu siły działające na ciało równoważą się. Gdy ciało zostanie wychylone, pojawia się siła wypadkowa skierowana z powrotem ku równowadze.

W ruchu harmonicznym ta siła rośnie proporcjonalnie do wychylenia. Im dalej ciało znajduje się od równowagi, tym silniej jest przyciągane z powrotem. Dlatego jego prędkość nie jest stała: rośnie podczas ruchu ku równowadze i maleje po jej minięciu.

Wychylenie $x$ mierzymy od położenia równowagi. Wybieramy zwrot osi $x$; dodatnie wychylenie oznacza położenie po dodatniej stronie tej osi. Warunkiem ruchu harmonicznego jest proporcjonalność siły wypadkowej do wychylenia i przeciwny zwrot tych wielkości:

$$F_{wyp}=-D x$$

$F_{wyp}$ to siła wypadkowa, a $D>0$ jest współczynnikiem proporcjonalności o jednostce $\text{N/m}$. Z drugiej zasady dynamiki $F_{wyp}=ma_x$, gdzie $m$ jest masą ciała, a $a_x$ jego przyspieszeniem. Zatem:

$$a_x=-\frac{D}{m}x=-\omega^2x$$

Częstość kołowa $\omega$ opisuje szybkość zmian fazy drgań; w tym modelu $\omega^2=D/m$. Znak minus oznacza, że przyspieszenie, tak jak siła wypadkowa, jest zawsze skierowane ku położeniu równowagi.

Amplituda $A$ jest największą wartością bezwzględną wychylenia od równowagi. Okres $T$ to czas jednego pełnego cyklu, po którym ruch powtarza się w taki sam sposób. Częstotliwość $f$ mówi, ile pełnych cykli odbywa się w sekundę; jej jednostką jest herc ($\text{Hz}=\text{s}^{-1}$). Częstość kołowa $\omega$ jest wyrażana w radianach na sekundę.

Wielkości te łączą wzory:

$$f=\frac{1}{T},\qquad \omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$$

W jednym okresie faza zmienia się o $2\pi$ rad. Nie myl częstotliwości $f$ z częstością kołową $\omega$: mają różne wartości liczbowe i różne jednostki.

Dla idealnego ciężarka o masie $m$ połączonego ze sprężyną o stałej sprężystości $k$ siła przy wychyleniu względem równowagi ma postać $F_{wyp}=-kx$. W tym przypadku $D=k$, więc:

$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Okres rośnie, gdy masa jest większa, i maleje, gdy sprężyna jest sztywniejsza. W modelu idealnym nie zależy od amplitudy. Dla pionowej sprężyny ciężar przesuwa położenie równowagi, ale nie zmienia tego okresu.

Wychylenie w czasie opisuje funkcja sinus:

$$x(t)=A\sin(\omega t+\varphi_0)$$

$t$ oznacza czas liczony od wybranej chwili początkowej, a $\varphi_0$ jest fazą początkową, czyli fazą w chwili $t=0$. Faza jest kątem podanym w radianach. Razem $\omega t+\varphi_0$ opisuje aktualny etap cyklu.

Wybór fazy zależy od stanu początkowego. Jeśli ciało w chwili $t=0$ przechodzi przez równowagę w stronę dodatnich wychyleń, można przyjąć $\varphi_0=0$. Jeśli zaczyna z dodatniego skrajnego położenia, $\varphi_0=\pi/2$. Jeśli zaczyna z ujemnego skrajnego położenia i rusza ku dodatnim wychyleniom, można przyjąć $\varphi_0=-\pi/2$ (równoważnie $3\pi/2$).

Dla równania $x(t)=A\sin(\omega t+\varphi_0)$ prędkość i przyspieszenie opisują zależności:

$$v_x(t)=\omega A\cos(\omega t+\varphi_0)$$

$$a_x(t)=-\omega^2 A\sin(\omega t+\varphi_0)=-\omega^2x(t)$$

Prędkość ma największą wartość bezwzględną w położeniu równowagi, a w skrajnych położeniach jest równa zeru. Przyspieszenie jest równe zeru w równowadze, a jego wartość bezwzględna jest największa w skrajnych położeniach:

$$v_{max}=\omega A,\qquad a_{max}=\omega^2 A$$

Jeśli używasz centymetrów dla $A$, prędkość otrzymasz w centymetrach na sekundę, a przyspieszenie w centymetrach na sekundę do kwadratu. W zadaniach wymagających jednostek SI najpierw zamień amplitudę na metry.

Zmiana fazy w czasie $t$ wynosi $\Delta\varphi=\omega t=2\pi t/T$. Dodaj ją do fazy początkowej $\varphi_0$, aby otrzymać fazę w chwili $t$: $\varphi=\varphi_0+\Delta\varphi$.

Jeśli znasz wychylenie, użyj $x/A=\sin\varphi$; jeśli znasz prędkość, użyj $v_x/v_{max}=\cos\varphi$. Sprawdź też kierunek ruchu, bo ta sama wartość sinusa może odpowiadać różnym chwilom cyklu.

Wykresy wychylenia, prędkości i przyspieszenia mają ten sam okres. Prędkość osiąga skrajne wartości ćwierć okresu przed osiągnięciem przez wychylenie skrajnej wartości. Przyspieszenie ma zawsze zwrot przeciwny do wychylenia, ponieważ $a_x=-\omega^2x$.

Warto zapamiętać cztery chwile cyklu:

• Przy $x=+A$: $v_x=0$, a przyspieszenie jest skierowane w stronę ujemną i ma wartość bezwzględną $a_{max}$.
• Przy przejściu przez $x=0$ w stronę dodatnią: $v_x=+v_{max}$ i $a_x=0$.
• Przy $x=-A$: $v_x=0$, a przyspieszenie jest skierowane w stronę dodatnią i ma wartość bezwzględną $a_{max}$.
• Przy przejściu przez $x=0$ w stronę ujemną: $v_x=-v_{max}$ i $a_x=0$.

Na wykresie $x(t)$ rosnące wychylenie oznacza dodatnią prędkość, a malejące — ujemną. Wartość siły wypadkowej można odczytać z przyspieszenia: $F_{wyp}=ma_x$.

Okres odczytaj jako odstęp czasu między kolejnymi takimi samymi stanami ruchu, na przykład między dwoma sąsiednimi maksimami wychylenia albo dwoma przejściami przez równowagę w tym samym kierunku. Odległość w czasie od maksimum do następnego minimum wychylenia wynosi tylko $T/2$.

Gdy ciało porusza się od skrajnego wychylenia ku równowadze, wartość prędkości rośnie. Gdy oddala się od równowagi ku skrajnemu położeniu, wartość prędkości maleje. Wartość przyspieszenia zachowuje się odwrotnie: rośnie przy oddalaniu się od równowagi i maleje przy zbliżaniu się do niej. Nie utożsamiaj wzrostu prędkości ze wzrostem jej wartości bezwzględnej — przy ruchu w stronę ujemną prędkość może być ujemna, a jej wartość bezwzględna jednocześnie rosnąć.

W pionowym układzie na ciężarek działają siła sprężystości sprężyny i siła ciężkości. W położeniu równowagi mają one równe wartości i przeciwne zwroty. Wychylenie $x$ licz względem tego położenia, a nie względem długości swobodnej sprężyny. Wtedy siła wypadkowa ma postać $F_{wyp}=-kx$.

Jeśli dodatni zwrot osi jest skierowany w górę, to w najniższym położeniu $x=-A$. Siła wypadkowa jest wtedy skierowana w górę, a wartość siły sprężystości wynosi $F_s=mg+kA$. Z tego powodu nie wolno utożsamiać siły sprężystości z siłą wypadkową. W dowolnym punkcie ruchu siłę wypadkową można też wyznaczyć z $F_{wyp}=ma_x$.

Siła wypadkowa ma największą wartość bezwzględną w skrajnych położeniach, gdzie $|x|=A$ i $|a_x|=a_{max}$. Zatem:

$$F_{wyp,max}=m a_{max}=m\omega^2A$$

Dla ciężarka na sprężynie $m\omega^2=k$, więc $F_{wyp,max}=kA$. Jeśli z wykresu siły odczytujesz skrajne wartości $+F_{max}$ i $-F_{max}$, amplitudą siły jest ich wartość bezwzględna, a nie różnica między nimi.

W niektórych zadaniach siła przywracająca równowagę wynika ze zmiany siły wyporu lub różnicy ciśnień. Jeśli ma postać $F_{wyp}=-C x$, ruch jest harmoniczny, a częstość kołowa spełnia $\omega^2=C/m$. Wynika to z połączenia warunku siły przywracającej z drugą zasadą dynamiki.

Dla areometru o masie $m$, zanurzonego w cieczy o gęstości $\rho$ i stałym polu przekroju rurki $S$, opuszczenie go o odległość $x$ zwiększa siłę wyporu o $\rho g Sx$. Jest to siła zwrócona ku górze, więc $C=\rho gS$. Okres drgań wynosi:

$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{\rho gS}},\qquad \rho=\frac{4\pi^2m}{gST^2}$$

W rurce U, gdy ciecz przesunie się o $x$ w jednym ramieniu, różnica poziomów wynosi $2x$. Różnica ciśnień wywołuje siłę przywracającą o wartości $2\rho gSx$. Dla całej drgającej cieczy o masie $m$ współczynnik wynosi więc $C=2\rho gS$, a okres:

$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{2\rho gS}}$$

We wzorach $g$ jest przyspieszeniem grawitacyjnym, $\rho$ gęstością cieczy, a $S$ polem przekroju rurki. Zakładamy małe wychylenia, stałe pole przekroju i pomijalne opory ruchu.

• W jednym pełnym okresie ciało przebywa drogę $4A$, ale jego przemieszczenie po okresie wynosi zero. Amplituda to największe wychylenie, nie droga w czasie drgań.

• Siła wypadkowa i przyspieszenie są skierowane do równowagi. Ich wartość nie jest stała: jest zerowa w równowadze i największa na końcach ruchu. Maksymalna szybkość występuje w równowadze, a maksymalne przyspieszenie — w skrajnych położeniach.

• Samo wychylenie początkowe może nie wystarczyć do ustalenia fazy. Sprawdź także kierunek prędkości lub podany zakres faz.

• Okres to odstęp między takimi samymi stanami ruchu. Dwa sąsiednie przeciwne skrajne położenia dzieli $T/2$.

• Dla osi o ustalonym zwrocie zachowuj znaki $x$, $v_x$ i $a_x$. Wartość bezwzględna prędkości to szybkość, więc może rosnąć, mimo że sama prędkość maleje liczbowo.

• Przed obliczeniami sprawdź jednostki. Korzystając z $v_{max}=\omega A$ i $a_{max}=\omega^2A$, wyraź $A$ w metrach, jeśli wynik ma być w SI.