Bryła sztywna · Środek ciężkości i energia potencjalna bryły sztywnej

Środek ciężkości, energia potencjalna i rodzaje równowagi

Środek masy i środek ciężkości

Bryła sztywna to model ciała, którego kształt się nie zmienia. Środek masy (SM) jest średnim położeniem jego masy: r⃗SM=∑imir⃗i/M\vec r_{\mathrm{SM}}=\sum_i m_i\vec r_i/M, gdzie M=∑imiM=\sum_i m_i. Środek ciężkości to punkt przyłożenia wypadkowej siły grawitacji. W jednorodnym polu grawitacyjnym oba punkty się pokrywają. Dla jednorodnych, symetrycznych ciał środek masy leży w ich geometrycznym środku.

Energia potencjalna bryły

W jednorodnym polu grawitacyjnym energia potencjalna bryły wynosi Ep=mghSME_p=mgh_{\mathrm{SM}}. mm to masa, gg — przyspieszenie grawitacyjne, a hSMh_{\mathrm{SM}} — wysokość środka masy nad wybranym poziomem. Powolne podniesienie bryły zwiększa jej energię o ΔEp=mgΔhSM\Delta E_p=mg\Delta h_{\mathrm{SM}}.

Energia potencjalna bryły

Dla jednorodnego pręta długości LL, obracającego się wokół osi na jednym końcu, środek masy znajduje się w odległości L/2L/2 od osi. Gdy pręt odchyla się o kąt α\alpha od pionu skierowanego w dół, jego wysokość względem najniższego położenia wynosi hSM=L2(1−cos⁡α)h_{\mathrm{SM}}=\frac L2(1-\cos\alpha), a Ep=mghSME_p=mg h_{\mathrm{SM}}.

Rodzaje równowagi

Równowaga statyczna wymaga ∑F⃗=0\sum\vec F=0 i ∑M⃗=0\sum\vec M=0. Równowaga trwała odpowiada minimum energii potencjalnej, chwiejna — maksimum, a obojętna — stałej energii przy małym przesunięciu.

Stateczność i podparcie

Na poziomym podłożu bryła jest stabilna, gdy pionowy rzut jej środka ciężkości pada wewnątrz pola podparcia. Gdy rzut wychodzi poza krawędź, ciężar może obracać bryłę wokół tej krawędzi. Inne siły lub przyspieszenie podłoża zmieniają warunek równowagi.

Najważniejsze zasady

Do energii potencjalnej podstawiaj zmianę wysokości środka masy, nie całej bryły. Przy ocenie stateczności rozróżniaj minimum, maksimum i stałą energię. Moment licz względem krawędzi, wokół której bryła może się obracać.

Najważniejsze zasady

Przy zmianie położenia bryły policz, o ile przesuwa się jej środek masy w pionie. To ta zmiana wyznacza ΔEp=mgΔhSM\Delta E_p=mg\Delta h_{\mathrm{SM}}.

Najważniejsze zasady

Małe wychylenie z minimum energii sprzyja powrotowi do równowagi; wychylenie z maksimum oddala bryłę od równowagi. Przy stałej energii położenie jest obojętne w rozważanym zakresie.