Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

Moment bezwładności

I

mówi, jak trudno zmienić obrót bryły wokół wybranej osi. Dla punktów o masach

m_i

, oddalonych od osi o

r_i

,

I=\sum_i m_i r_i^2

. Masa dalej od osi zwiększa

I

szczególnie mocno, bo odległość jest podniesiona do kwadratu.

Moment bezwładności

Dla jednorodnych brył względem podanych osi: obręcz

I=mR^2

, pełny walec

I=\frac12mR^2

, pełna kula

I=\frac25mR^2

, cienki pręt obracający się wokół środka

I=\frac1{12}mL^2

.

m

to masa,

R

promień, a

L

długość pręta. Oś ma znaczenie.

Moment bezwładności

Ponieważ

I

zawiera

r^2

, dwukrotne zwiększenie odległości punktowej masy od osi zwiększa jej wkład do momentu bezwładności czterokrotnie.

Twierdzenie Steinera

Jeśli znasz moment bezwładności

I_0

względem osi przez środek masy, dla równoległej osi oddalonej o

d

użyj twierdzenia Steinera:

I=I_0+md^2.

m

oznacza masę całej bryły. Oś odniesienia

I_0

musi przechodzić przez środek masy.

Twierdzenie Steinera

Twierdzenie Steinera łączy oś przez środek masy z osią równoległą. Jeśli potrzebujesz przejść między dwiema innymi osiami, najpierw sprowadź jedną z nich do osi przez środek masy, a potem zastosuj wzór ponownie.

Energia, praca i moc w obrocie

Dla bryły obracającej się wokół stałej osi energia kinetyczna wynosi

E_{\mathrm{obr}}=\frac12 I\omega^2.

I

to moment bezwładności względem osi, a

\omega

— prędkość kątowa w

\mathrm{rad/s}

. Jednostką energii jest dżul.

Energia, praca i moc w obrocie

Stały moment siły

M

, który obraca bryłę o kąt

\Delta\varphi

, wykonuje pracę

W=M\Delta\varphi

; kąt podaj w radianach. Przy zmiennym momencie

W=\int M\,d\varphi

. Moc chwilowa wynosi

P=M\omega

, gdzie

\omega

to prędkość kątowa.

Energia, praca i moc w obrocie

Jeden pełny obrót to

2\pi

radianów. Przed obliczeniem pracy zamień liczbę obrotów na kąt w radianach i uwzględnij zwrot momentu hamującego.

Energia toczącej się bryły

Tocząca się bryła ma energię postępową i obrotową:

E_k=\frac12mv^2+\frac12I_{\mathrm{SM}}\omega^2.

Przy toczeniu bez poślizgu

v=\omega R

.

m

to masa,

v

prędkość środka masy,

I_{\mathrm{SM}}

moment bezwładności względem osi przez środek masy, a

R

promień.

Energia toczącej się bryły

Przy idealnym toczeniu bez poślizgu po nieruchomym podłożu punkt styku jest w danej chwili nieruchomy względem podłoża. Tarcie statyczne wtedy nie wykonuje pracy. Rzeczywiste odkształcenia mogą jednak powodować opory toczenia i straty energii.

Energia toczącej się bryły

Nie każda siła tarcia rozprasza energię. W idealnym toczeniu bez poślizgu tarcie statyczne nie wykonuje pracy; przy poślizgu lub oporach toczenia energia mechaniczna może maleć.

Zachowanie energii przy obrocie

Jeśli bryła stacza się bez poślizgu i pomijamy opory, energia potencjalna przechodzi w energię postępową i obrotową:

mgh=\frac12mv^2+\frac12I_{\mathrm{SM}}\omega^2.

Zależność

v=\omega R

pozwala połączyć obie części energii. Rozkład masy wpływa na końcową prędkość.

Zachowanie energii przy obrocie

Przy obrocie wokół nieruchomej osi energię kinetyczną zapisujesz jako

\frac12 I\omega^2

, używając momentu bezwładności względem tej osi. W polu grawitacyjnym zmianę energii potencjalnej liczysz ze zmiany wysokości środka masy.

Zachowanie energii przy obrocie

Dla tej samej wysokości początkowej bryła o mniejszym względnym momencie bezwładności

I/(mR^2)

uzyskuje większą prędkość postępową podczas staczania. Warunkiem porównania jest brak poślizgu i pomijalne opory.

Najważniejsze zależności

Pamiętaj o trzech rzeczach: dobierz

I

do właściwej osi, przy toczeniu uwzględnij oba rodzaje energii, a w pracy momentu używaj radianów. Energię mechaniczną zachowujesz tylko wtedy, gdy nie ma strat.

Najważniejsze zależności

W idealnym staczaniu przyspieszenie nie zależy od samej masy ani rozmiaru, lecz od kształtu rozkładu masy przez

I/(mR^2)

. Założenia: jednorodne pole grawitacyjne, toczenie bez poślizgu i brak oporów.