Bryła sztywna · Moment pędu bryły sztywnej

Moment pędu bryły sztywnej i zasada zachowania momentu pędu

Moment pędu

Moment pędu opisuje ruch obrotowy względem wybranego punktu OO: L⃗=r⃗×p⃗\vec L=\vec r\times\vec p, gdzie r⃗\vec r prowadzi od OO do punktu, a p⃗=mv⃗\vec p=m\vec v jest jego pędem. Wartość wynosi L=rpsin⁡αL=rp\sin\alpha; zależy od odległości i kierunku ruchu.

Moment pędu

Dla bryły obracającej się wokół stałej osi główną zależnością jest L=Iω.L=I\omega. LL to moment pędu względem osi, II — moment bezwładności względem tej osi, a ω\omega — prędkość kątowa. Wektor L⃗\vec L jest równoległy do osi przy obrocie wokół osi głównej.

Moment siły a zmiana momentu pędu

Względem nieruchomego punktu suma zewnętrznych momentów sił równa się szybkości zmiany momentu pędu: ∑M⃗zewn=dL⃗dt.\sum\vec M_{\mathrm{zewn}}=\frac{d\vec L}{dt}. W zapisie przedziałowym ΔL⃗/Δt\Delta\vec L/\Delta t oznacza średnią wartość momentu siły. Dla stałej osi i stałego II: ∑M=Iε\sum M=I\varepsilon.

Moment siły a zmiana momentu pędu

Na wykresie L(t)L(t) nachylenie opisuje moment siły; poziomy wykres oznacza stały moment pędu. Dla stałego momentu bezwładności wykres L(ω)L(\omega) ma nachylenie II, bo L=IωL=I\omega.

Zachowanie momentu pędu

Jeśli wypadkowy zewnętrzny moment sił względem danej osi jest zerowy, moment pędu układu względem tej osi pozostaje stały: Lpocz=LkonL_{\mathrm{pocz}}=L_{\mathrm{kon}}. Wybierz układ obejmujący wszystkie ciała wymieniające moment pędu.

Zachowanie momentu pędu

Gdy II się zmienia, a zewnętrzny moment sił jest zerowy, I1ω1=I2ω2I_1\omega_1=I_2\omega_2. Zmniejszenie II zwiększa ω\omega, a zwiększenie II ją zmniejsza. ω\omega oznacza prędkość kątową.

Moment pędu i energia

Energia obrotu wynosi Ek=12Iω2=L22IE_k=\frac12I\omega^2=\frac{L^2}{2I}. Przy stałym LL zmiana II zmienia energię: pracę mogą wykonać siły wewnętrzne, np. mięśnie. Samo zachowanie momentu pędu nie oznacza zachowania energii kinetycznej.

Zastosowanie zasady zachowania

Jeśli masa pozostaje stała, a rozkład masy zbliża się do osi, moment bezwładności maleje. Przy braku zewnętrznego momentu pędu obrót przyspiesza. To ta sama zasada, którą wykorzystuje łyżwiarz przyciągający ręce.

Zastosowanie zasady zachowania

Przy zderzeniu z ciałem na osi obrotu rozważ moment pędu względem tej osi: siła reakcji osi nie daje wtedy momentu względem osi. Dla dwóch ciał obracających się razem uwzględnij ich momenty bezwładności oraz zwroty obrotu.

Ważne warunki stosowania

Zanim użyjesz zasady, sprawdź: czy zewnętrzny moment sił jest pomijalny, względem jakiej osi liczysz LL, czy II jest stałe i w którą stronę skierowane są wektory momentu pędu. Przy zderzeniu energia kinetyczna może ulec zmianie.

Wnioski do zapamiętania

Gdy ciało samo zmienia rozkład masy, porównaj energie przez Ek=L2/(2I)E_k=L^2/(2I), a nie zakładaj ich równości. W przyciąganiu masy do osi potrzebna jest praca wewnętrzna.

Wnioski do zapamiętania

Punkt poruszający się po linii, która nie przechodzi przez wybrany punkt OO, może mieć niezerowy moment pędu względem OO. Moment pędu zależy od wybranego punktu odniesienia.