Ruch postępowy i obrotowy bryły sztywnej

Bryła sztywna i jej ruch

Bryła sztywna to model, w którym odległości między punktami ciała pozostają stałe. Może przesuwać się, obracać lub wykonywać oba ruchy jednocześnie. Podczas czystego ruchu postępowego wszystkie punkty mają w danej chwili tę samą prędkość.

Bryła sztywna i jej ruch

W ruchu postępowym opisujesz położenie, prędkość i przyspieszenie liniowe

s,v,a

. W obrocie wokół stałej osi używasz kąta

\varphi

, prędkości kątowej

\omega

i przyspieszenia kątowego

\varepsilon

. W ruchu jednostajnie przyspieszonym analogicznie:

v=v_0+at

,

\omega=\omega_0+\varepsilon t

.

Wielkości opisujące obrót

Kąt obrotu

\Delta\varphi

mierzysz w radianach; pełny obrót to

2\pi

rad. Prędkość kątowa to

\omega=\Delta\varphi/\Delta t

. Przyspieszenie kątowe opisuje zmianę

\omega

:

\varepsilon=\Delta\omega/\Delta t

. Okres

T

to czas jednego obrotu, a częstotliwość

f

— liczba obrotów na sekundę;

\omega=2\pi/T=2\pi f

.

Wielkości opisujące obrót

Dla punktu w odległości

r

od stałej osi:

v=\omega r

,

a_t=\varepsilon r

i

a_d=\omega^2r

.

a_t

zmienia wartość prędkości, a

a_d

jej kierunek. Są do siebie prostopadłe, więc wartość całkowitego przyspieszenia to

\sqrt{a_t^2+a_d^2}

.

Wielkości opisujące obrót

Jeśli lina nie ślizga się po bębnie o promieniu

R

, jej prędkość jest równa prędkości stycznej brzegu:

v=\omega R

. Przyspieszenie liny wynosi

a=\varepsilon R

.

Środek masy

Środek masy opisuje średnie położenie masy układu. Dla punktów o masach

m_i

i współrzędnych

x_i

:

x_{\mathrm{SM}}=\frac{\sum_i m_i x_i}{\sum_i m_i}.

W dwóch lub trzech wymiarach stosujesz ten wzór osobno do każdej współrzędnej.

m_i

to masa elementu,

x_i

— jego położenie, a SM — środek masy.

Środek masy

Dla dwóch mas

m_1,m_2

środek masy leży bliżej większej masy. Jeśli odległości od niego wynoszą

r_1,r_2

, zachodzi

m_1r_1=m_2r_2

. Używaj współrzędnych ze znakami, gdy ciała leżą po przeciwnych stronach początku osi.

Ruch środka masy i środek ciężkości

Środek masy układu porusza się tak, jak punkt o całkowitej masie

M

, na który działa wypadkowa siła zewnętrzna:

\sum\vec F_{\mathrm{zewn}}=M\vec a_{\mathrm{SM}}

. W jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy.

Najważniejsze rozróżnienia

W obrocie wszystkie punkty mają tę samą

\omega

, ale różne

v

. Środek masy nie musi leżeć wewnątrz materiału bryły. Nie myl środka masy ze środkiem ciężkości: pokrywają się w jednorodnym polu grawitacyjnym.

Zastosowanie definicji

Na tej samej sztywnej tarczy wszystkie punkty mają tę samą prędkość kątową. Punkt dalej od osi ma większą prędkość liniową, bo

v=\omega r

.

Zastosowanie definicji

Położenie środka masy jest średnią ważoną masami. Sprawdź jednostki i znak każdej współrzędnej; większa masa znajduje się bliżej środka masy.