Energia i pęd · Pęd i zasada zachowania pędu

Pęd ciała. Zasada zachowania pędu

1. Pęd ciała i popęd siły (II zasada dynamiki w postaci pędowej)

### Definicja pędu ciała Pęd ciała jest wektorową wielkością fizyczną zdefiniowaną jako iloczyn masy ciała mm i jego prędkości v⃗\vec{v}: p⃗=mv⃗\vec{p}=m\vec{v} Właściwości pędu: - kierunek i zwrot wektora pędu są takie same jak kierunek i zwrot prędkości, - wartość pędu wynosi p=mvp=mv, - jednostką pędu w układzie SI jest: [p]=1 kg⋅ms=1 N⋅s.[p]=1\,\text{kg}\cdot\frac{\text{m}}{\text{s}}=1\,\text{N}\cdot\text{s}. Im większa masa ciała i im większa jego prędkość, tym większy jest jego pęd. ### II zasada dynamiki w postaci pędowej Siła wypadkowa działająca na ciało jest związana ze zmianą jego pędu. Dla siły chwilowej: F⃗=dp⃗dt.\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}. Na poziomie licealnym bardzo często korzystamy z postaci dla wartości średnich w przedziale czasu Δt\Delta t: F⃗sˊr=Δp⃗Δt.\vec{F}_{śr}=\frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}. Dla ciała o stałej masie otrzymujemy znaną postać II zasady dynamiki: F⃗=ma⃗.\vec{F}=m\vec{a}. ### Popęd siły i zmiana pędu Popęd siły wypadkowej jest równy zmianie pędu ciała: I⃗=F⃗sˊrΔt=Δp⃗=p⃗k−p⃗p.\vec{I}=\vec{F}_{śr}\Delta t=\Delta\vec{p}=\vec{p}_k-\vec{p}_p. Dla ciała o stałej masie: Δp⃗=mv⃗k−mv⃗p.\Delta\vec{p}=m\vec{v}_k-m\vec{v}_p. Jeżeli siła zmienia się w czasie, popęd odpowiada polu algebraicznemu pod wykresem odpowiedniej składowej siły w funkcji czasu. ### Bezpieczeństwo i czas zderzenia Dla tej samej zmiany pędu: Fsˊr=∣Δp∣Δt.F_{śr}=\frac{|\Delta p|}{\Delta t}. Wydłużenie czasu zatrzymywania zmniejsza wartość średniej siły. Dlatego strefy zgniotu, poduszki powietrzne czy ugięcie nóg podczas lądowania zmniejszają siłę działającą na człowieka. ### Siła parcia strumienia cieczy na ścianę Rozpatrzmy strumień cieczy o gęstości ρ\rho, polu przekroju SS i prędkości vv, który uderza prostopadle w ścianę i następnie spływa po niej bez odbicia. W czasie Δt\Delta t do ściany dociera masa: Δm=ρSvΔt.\Delta m=\rho S v\Delta t. Jej składowa pędu prostopadła do ściany zmienia się o wartość: ∣Δp∣=Δm v=ρSv2Δt.|\Delta p|=\Delta m\,v=\rho S v^2\Delta t. Stąd średnia siła wywierana przez strumień na ścianę wynosi: F=ρSv2.F=\rho S v^2. Jeżeli siła jest rozłożona równomiernie na powierzchni SS, średnie ciśnienie wynikające z oddziaływania strumienia wynosi: p=FS=ρv2.p=\frac{F}{S}=\rho v^2. Jest to wynik dla tego uproszczonego modelu i nie należy go utożsamiać z ogólnym wzorem na ciśnienie dynamiczne w równaniu Bernoulliego. Przy idealnym odbiciu strumienia w przeciwną stronę zmiana pędu jest dwukrotnie większa, więc: F=2ρSv2.F=2\rho S v^2.

2. Układy ciał i zasada zachowania pędu

### Układ ciał, siły wewnętrzne i zewnętrzne Układem ciał nazywamy wybrany zestaw obiektów, który analizujemy jako całość. - **Siły wewnętrzne** działają między ciałami należącymi do układu. Zgodnie z III zasadą dynamiki występują parami: F⃗12=−F⃗21.\vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21}. Dlatego ich suma dla całego układu jest równa zeru. - **Siły zewnętrzne** pochodzą od obiektów spoza rozpatrywanego układu, np. od podłoża, powietrza lub Ziemi. ### Zasada zachowania pędu Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, całkowity pęd układu pozostaje stały: p⃗calk=const.\vec{p}_{calk}=\text{const}. Możemy więc zapisać: p⃗pocz=p⃗konc.\vec{p}_{pocz}=\vec{p}_{konc}. Dla dwóch ciał: m1v⃗1+m2v⃗2=m1v⃗1′+m2v⃗2′.m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=m_1\vec{v}'_1+m_2\vec{v}'_2. Siły wewnętrzne mogą zmieniać pędy poszczególnych ciał, ale nie zmieniają całkowitego pędu izolowanego układu. ### Zachowanie pędu wzdłuż wybranej osi Nie zawsze cały układ musi być izolowany we wszystkich kierunkach. Jeżeli wzdłuż wybranej osi, np. osi xx, wypadkowa sił zewnętrznych jest równa zeru, to zachowana jest składowa pędu wzdłuż tej osi: pcalk,x=const.p_{calk,x}=\text{const}. To bardzo ważne np. w zadaniach z działem poruszającym się po poziomym podłożu: w pionie działa siła ciężkości i reakcja podłoża, ale w poziomie można często zastosować zasadę zachowania pędu. ### Wskakiwanie na poruszający się wózek Jeżeli człowiek o masie m1m_1 porusza się z prędkością v1v_1 i wskakuje na wózek o masie m2m_2 poruszający się z prędkością v2v_2, a po zderzeniu poruszają się razem, to wzdłuż wspólnej osi ruchu: m1v1+m2v2=(m1+m2)vk.m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v_k. Stąd: vk=m1v1+m2v2m1+m2.v_k=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}. Jeżeli ciała poruszają się w przeciwnych kierunkach, jednej z prędkości nadajemy znak ujemny zgodnie z przyjętym zwrotem osi. ### Wskakiwanie prostopadle do kierunku ruchu Jeżeli człowiek wskakuje na deskorolkę prostopadle do jej początkowego ruchu, zasadę zachowania pędu stosujemy osobno dla każdej osi. Jeżeli deskorolka poruszała się początkowo wzdłuż osi xx, a człowiek nie miał początkowej składowej prędkości w tej osi, to: m2v2=(m1+m2)vkx.m_2v_2=(m_1+m_2)v_{kx}. Zatem: vkx=m2m1+m2v2.v_{kx}=\frac{m_2}{m_1+m_2}v_2. Jest to tylko składowa końcowej prędkości w osi xx. Jeżeli człowiek miał początkowy pęd w osi yy, po wskoczeniu układ będzie miał również niezerową składową vkyv_{ky}. ### Człowiek poruszający się po swobodnej łodzi Jeżeli człowiek i łódź początkowo spoczywają, a poziome siły zewnętrzne można zaniedbać, środek masy całego układu pozostaje w tym samym miejscu względem brzegu. Jeżeli Δrcz\Delta r_{cz} i Δrl\Delta r_l oznaczają przemieszczenia człowieka i łodzi **względem brzegu**, to: mΔrcz+MΔrl=0.m\Delta r_{cz}+M\Delta r_l=0. Stąd: Δrl=−mMΔrcz.\Delta r_l=-\frac{m}{M}\Delta r_{cz}. W wielu zadaniach podana jest jednak droga LL przebyta przez człowieka **względem łodzi**. Wtedy wartość przesunięcia łodzi względem brzegu wynosi: ∣Δrl∣=mm+ML,|\Delta r_l|=\frac{m}{m+M}L, w kierunku przeciwnym do ruchu człowieka.

3. Zjawisko odrzutu i napęd odrzutowy

### Mechanizm zjawiska odrzutu Zjawisko odrzutu jest konsekwencją zasady zachowania pędu. Jeżeli układ początkowo spoczywa, jego całkowity pęd wynosi zero. Po rozdzieleniu dwóch części układu ich pędy muszą mieć jednakowe wartości i przeciwne zwroty: mv⃗+MV⃗=0⃗.m\vec{v}+M\vec{V}=\vec{0}. Stąd: MV⃗=−mv⃗M\vec{V}=-m\vec{v} oraz dla wartości prędkości: V=mMv.V=\frac{m}{M}v. Cięższa część układu uzyskuje więc mniejszą wartość prędkości. ### Wystrzał z działa pod kątem α\alpha Jeżeli działo znajduje się na poziomym podłożu i może swobodnie cofać się w poziomie, zasadę zachowania pędu stosujemy w osi poziomej. Pocisk o masie mm ma poziomą składową prędkości: vx=vpcos⁡α.v_x=v_p\cos\alpha. Przy zaniedbaniu poziomego impulsu sił zewnętrznych: MVo=mvpcos⁡α,MV_o=mv_p\cos\alpha, więc: Vo=mMvpcos⁡α.V_o=\frac{m}{M}v_p\cos\alpha. W osi pionowej na działo działa siła reakcji podłoża, dlatego układ działo–pocisk nie jest w tym kierunku izolowany i nie stosujemy tam zasady zachowania pędu dla samego układu działo–pocisk. Jeżeli po wystrzale działo jest hamowane stałą siłą tarcia Ft=μMgF_t=\mu Mg, jego opóźnienie ma wartość: a=μg.a=\mu g. Droga hamowania wynosi wtedy: s=Vo22μg.s=\frac{V_o^2}{2\mu g}. ### Gazy prochowe — dokładniejszy model W dokładniejszym opisie wystrzału należy uwzględnić także pęd gazów prochowych opuszczających lufę. W zadaniach szkolnych zazwyczaj informacja o tym, czy pęd gazów należy uwzględnić, wynika bezpośrednio z treści zadania. Jeżeli gazy pomijamy, bilans pędu obejmuje tylko broń i pocisk. ### Napęd odrzutowy Rakieta porusza się dzięki wyrzucaniu gazów do tyłu. Gazy otrzymują pęd skierowany w jedną stronę, a rakieta — pęd skierowany przeciwnie. W uproszczonym modelu, przy stałej szybkości wypływu gazów względem rakiety uu i stałym tempie ubytku masy, wartość siły ciągu można zapisać jako: Fc=u∣ΔmΔt∣.F_c=u\left|\frac{\Delta m}{\Delta t}\right|. Ponieważ masa rakiety zmniejsza się podczas spalania paliwa, jej przyspieszenie nie musi być stałe. Nie należy więc automatycznie stosować wzoru v=atv=at z jednym stałym aa, chyba że treść zadania wyraźnie pozwala na takie uproszczenie.

4. Pułapki i najczęstsze błędy maturalne

### Najczęstsze pułapki egzaminacyjne - **Znaki prędkości i wektorowy charakter pędu.** Przy odbiciu ciało zmienia zwrot prędkości, więc także zwrot pędu. Jeśli ciało odbija się sprężyście z taką samą wartością prędkości: Δp⃗=m(−v)−m(+v)=−2mv,\Delta\vec{p}=m(-v)-m(+v)=-2mv, zatem: ∣Δp∣=2mv.|\Delta p|=2mv. - **Prędkość względna a prędkość względem podłoża.** Jeżeli w zadaniu podano prędkość człowieka względem wózka, nie można jej od razu wstawić do bilansu pędu liczonego w układzie związanym z Ziemią. Najpierw trzeba ustalić prędkość w tym samym układzie odniesienia dla wszystkich ciał. - **Zachowanie pędu tylko w wybranym kierunku.** Jeżeli w osi xx wypadkowa sił zewnętrznych jest równa zeru, można zapisać zachowanie pxp_x, nawet jeśli w osi yy działają siły zewnętrzne. Przykładem jest odrzut działa znajdującego się na poziomym podłożu. - **Zasada zachowania pędu dotyczy układu ciał.** Dla pojedynczego ciała, na które działa zewnętrzna siła wypadkowa, jego pęd nie musi być zachowany. Przykładowo pęd swobodnie spadającego ciała zmienia się pod wpływem siły ciężkości. - **Pęd gazów uwzględniamy tylko wtedy, gdy wymaga tego model zadania.** W prostych zadaniach szkolnych o odrzucie broni najczęściej rozpatruje się tylko broń i pocisk. Jeśli treść zadania podaje dane dotyczące gazów, należy uwzględnić także ich pęd. - **Rakieta nie musi mieć stałego przyspieszenia.** Jej masa zmienia się podczas spalania paliwa, więc bez dodatkowych założeń nie można traktować jej ruchu jako jednostajnie przyspieszonego. - **Nie myl zasady zachowania pędu z zasadą zachowania energii kinetycznej.** W układzie izolowanym pęd jest zachowany zarówno w zderzeniach sprężystych, jak i niesprężystych. Energia kinetyczna jest zachowana w zderzeniu sprężystym. W zderzeniu niesprężystym część energii kinetycznej przechodzi m.in. w energię wewnętrzną i energię związaną z odkształceniami.