Grawitacja i astronomia · Energia potencjalna grawitacji

Energia potencjalna grawitacji

Energia potencjalna w polu grawitacyjnym

Przyjmijmy, że energia potencjalna jest równa zeru w nieskończoności. Dla masy mm w odległości rr od środka ciała o masie MM: Ep=−GMmr.E_p=-\frac{GMm}{r}. GG to stała grawitacji. Energia jest ujemna, bo ciała związane grawitacyjnie mają mniejszą energię niż ciała rozdzielone w nieskończoności. Gdy ciało oddala się, EpE_p rośnie — staje się mniej ujemna. Zmiana energii przy przejściu z r1r_1 do r2r_2 wynosi ΔEp=GMm(1r1−1r2)\Delta E_p=GMm\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right). Odległości mierzymy od środka ciała.

Przybliżenie blisko powierzchni Ziemi

Gdy zmiana wysokości hh jest mała w porównaniu z promieniem Ziemi, przyspieszenie grawitacyjne gg można uznać za stałe. Wtedy zmianę energii potencjalnej obliczysz w przybliżeniu ze wzoru ΔEp≈mgh\Delta E_p\approx mgh, gdzie mm to masa ciała. Wzór opisuje zmianę energii między poziomami, a nie energię względem jednego obowiązkowego zera. Przy dużych odległościach użyj wzoru Ep=−GMm/rE_p=-GMm/r.

Praca grawitacji i energia na orbicie

Praca wykonana przez grawitację jest równa przeciwnej zmianie energii potencjalnej: Wg=−ΔEpW_g=-\Delta E_p. Na orbicie kołowej o promieniu rr energia kinetyczna satelity wynosi Ek=GMm/(2r)E_k=GMm/(2r), a jego całkowita energia mechaniczna Emech=−GMm/(2r)E_{mech}=-GMm/(2r). Energia potencjalna to Ep=−GMm/rE_p=-GMm/r. W tych wzorach MM oznacza masę planety, a mm — masę satelity.

Prędkość ucieczki

Prędkość ucieczki to najmniejsza prędkość, z jaką trzeba ruszyć z odległości rr, aby ciało dotarło do nieskończoności z prędkością równą zeru. Z zasady zachowania energii: vesc=2GMr.v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}. MM to masa ciała przyciągającego, a GG — stała grawitacji. Masa startującego ciała skraca się, więc nie wpływa na tę prędkość. Pomijamy atmosferę i wpływ innych ciał.

Prędkości orbitalna i ucieczki

Na orbicie kołowej w odległości rr od środka planety prędkość orbitalna wynosi vorb=GM/rv_{\mathrm{orb}}=\sqrt{GM/r}. W tym samym miejscu prędkość ucieczki jest 2\sqrt2 razy większa: vesc=2 vorbv_{\mathrm{esc}}=\sqrt2\,v_{\mathrm{orb}}. Obie prędkości zależą od masy planety i odległości od jej środka, nie od masy satelity.