Hydrostatyka · Ciśnienie hydrostatyczne i atmosferyczne

7.2 Ciśnienie hydrostatyczne i atmosferyczne

1. Ciśnienie hydrostatyczne i zależność ciśnienia od głębokości

### Ciśnienie i siła parcia Ciecz spoczywająca działa na stykającą się z nią powierzchnię **siłą parcia**, skierowaną prostopadle do tej powierzchni. Jeżeli ciśnienie na całej rozpatrywanej powierzchni SS jest jednakowe, to: p=FS,F=pSp=\frac{F}{S}, \qquad F=pS Jednostką ciśnienia w układzie SI jest paskal: 1 Pa=1 Nm21\,\text{Pa}=1\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2} Często używamy również hPa\text{hPa}, kPa\text{kPa}, MPa\text{MPa} i barów: - 1 hPa=100 Pa1\,\text{hPa}=100\,\text{Pa}, - 1 kPa=1000 Pa1\,\text{kPa}=1000\,\text{Pa}, - 1 MPa=106 Pa1\,\text{MPa}=10^6\,\text{Pa}, - 1 bar=105 Pa1\,\text{bar}=10^5\,\text{Pa}. Jeżeli ciśnienie zmienia się na powierzchni, jak na pionowej ścianie zbiornika, nie wolno po prostu pomnożyć ciśnienia maksymalnego przez całe pole. W takim przypadku korzystamy z ciśnienia średniego. ### Skąd bierze się wzór ph=ρghp_h=\rho gh? Rozważmy pionowy słup jednorodnej cieczy o gęstości ρ\rho, wysokości hh i polu podstawy SS. Objętość i masa słupa wynoszą: V=ShV=Sh m=ρV=ρShm=\rho V=\rho Sh Ciężar słupa cieczy: Fg=mg=ρShgF_g=mg=\rho Shg Przyrost ciśnienia między powierzchnią cieczy a punktem położonym na głębokości hh wynosi więc: ph=FgS=ρghp_h=\frac{F_g}{S}=\rho gh Wielkość php_h nazywamy **ciśnieniem hydrostatycznym**. Jest to przyrost ciśnienia wywołany ciężarem cieczy. ### Ogólna zależność w jednorodnej cieczy Jeżeli na powierzchni cieczy panuje ciśnienie psp_s, to na głębokości hh: p=ps+ρghp=p_s+\rho gh W zbiorniku otwartym ps=p0p_s=p_0, gdzie p0p_0 jest ciśnieniem atmosferycznym, dlatego: p=p0+ρghp=p_0+\rho gh Dla stałych ρ\rho i gg ciśnienie hydrostatyczne rośnie liniowo z pionową głębokością. Wykres ph(h)p_h(h) jest prostą przechodzącą przez początek układu, a jego nachylenie wynosi ρg\rho g. Wykres ciśnienia bezwzględnego p(h)p(h) ma takie samo nachylenie, ale dla h=0h=0 zaczyna się od p0p_0. ### Co oznacza głębokość hh? We wzorze ph=ρghp_h=\rho gh wielkość hh jest zawsze **pionową różnicą poziomów**. Nie jest to długość mierzona wzdłuż pochyłej ścianki naczynia. Wzór stosujemy w przybliżeniu stałej gęstości cieczy i stałego przyspieszenia grawitacyjnego. Ciśnienie hydrostatyczne nie zależy od kształtu naczynia ani od całkowitej objętości cieczy.

2. Ciśnienie atmosferyczne, bezwzględne i różnica ciśnień

### Ciśnienie atmosferyczne Atmosfera wywiera ciśnienie na powierzchnię Ziemi i na wszystkie znajdujące się w niej ciała. Przy poziomie morza typowa wartość wynosi około: p0≈1013 hPa≈101,3 kPa≈1,01⋅105 Pap_0\approx 1013\,\text{hPa}\approx 101{,}3\,\text{kPa}\approx 1{,}01\cdot 10^5\,\text{Pa} W zbiorniku otwartym ciśnienie bezwzględne w cieczy na głębokości hh wynosi: pbezwzgl=p0+ρghp_{\text{bezwzgl}}=p_0+\rho gh W takim otwartym zbiorniku ciśnienie hydrostatyczne jest jednocześnie nadciśnieniem względem atmosfery: ph=pbezwzgl−p0=ρghp_h=p_{\text{bezwzgl}}-p_0=\rho gh Dlatego w zadaniu trzeba najpierw ustalić, czy pytanie dotyczy ciśnienia **bezwzględnego**, czy tylko przyrostu względem atmosfery. ### Wypadkowa siła na przegrodę Jeżeli na dwie strony płaskiej przegrody o polu SS działają ciśnienia p1p_1 i p2p_2, które są jednakowe w każdym punkcie danej strony, to wartość wypadkowej siły jest równa: Fwyp=∣p1−p2∣SF_{\text{wyp}}=|p_1-p_2|S Przykładowo dla **poziomego** włazu na głębokości hh, jeżeli na zewnątrz panuje p0+ρghp_0+\rho gh, a wewnątrz kabiny p0p_0, to: Fwyp=[(p0+ρgh)−p0]S=ρghSF_{\text{wyp}}=[(p_0+\rho gh)-p_0]S=\rho ghS Ciśnienie atmosferyczne redukuje się tylko dlatego, że działa po obu stronach przegrody. ### Krótko o pomiarze ciśnienia atmosferycznego W barometrze rtęciowym słup rtęci jest utrzymywany przez ciśnienie atmosferyczne. W przybliżeniu: p0=ρHgghp_0=\rho_{\text{Hg}}gh Dla normalnego ciśnienia atmosferycznego wysokość słupa rtęci wynosi około 760 mm760\,\text{mm}. Najważniejsza jest tu ta sama zasada hydrostatyczna: na tym samym poziomie w tej samej spoczywającej i połączonej cieczy ciśnienia są równe.

2. Ciśnienie atmosferyczne, bezwzględne i różnica ciśnień

### Dlaczego woda może przestać wypływać z otworu? Jeżeli butelka jest szczelnie zamknięta, a nad wodą znajduje się uwięzione powietrze, wypływanie wody zwiększa objętość tego powietrza i obniża jego ciśnienie. Po pewnym czasie może ustalić się równowaga. Na poziomie otworu ciśnienie od strony wnętrza butelki wynosi: pwewn+ρghp_{\text{wewn}}+\rho gh Od zewnątrz działa ciśnienie atmosferyczne p0p_0. W chwili ustania wypływu: pwewn+ρgh=p0p_{\text{wewn}}+\rho gh=p_0 Stąd: pwewn=p0−ρghp_{\text{wewn}}=p_0-\rho gh To ważny przykład pokazujący, że w hydrostatyce nie zawsze można automatycznie przyjąć p=p0+ρghp=p_0+\rho gh. Najpierw trzeba ustalić, jakie ciśnienie panuje nad powierzchnią cieczy.

3. Siła parcia na dno i pionowe ściany

### Poziome dno Na poziomym dnie wszystkie punkty znajdują się na tej samej głębokości hh, więc ciśnienie hydrostatyczne jest jednakowe na całym dnie: ph=ρghp_h=\rho gh Siła parcia hydrostatycznego cieczy na dno o polu SS wynosi: Fh=phS=ρghSF_h=p_hS=\rho ghS Jeżeli interesuje nas siła wynikająca z ciśnienia bezwzględnego po jednej stronie powierzchni, wtedy używamy p=p0+ρghp=p_0+\rho gh. Jeżeli po drugiej stronie działa to samo ciśnienie atmosferyczne, wkład p0p_0 redukuje się przy obliczaniu siły wypadkowej. ### Pionowa prostokątna ściana od powierzchni do głębokości HH Ciśnienie hydrostatyczne rośnie liniowo od 00 przy powierzchni do ρgH\rho gH przy dnie. Dlatego średnie ciśnienie hydrostatyczne wynosi: ph,sˊr=0+ρgH2=12ρgHp_{h,\text{śr}}=\frac{0+\rho gH}{2}=\frac{1}{2}\rho gH Jeżeli ściana ma szerokość LL, jej zanurzone pole wynosi: S=LHS=LH Zatem siła parcia hydrostatycznego: Fh=ph,sˊrS=12ρgLH2F_h=p_{h,\text{śr}}S=\frac{1}{2}\rho gLH^2 Jeżeli potrzebujemy średniego **ciśnienia bezwzględnego** po stronie cieczy w zbiorniku otwartym, to: psˊr=p0+12ρgHp_{\text{śr}}=p_0+\frac{1}{2}\rho gH Nie należy mylić tych dwóch wielkości. ### Wrota śluzy — woda po obu stronach Jeżeli pionowe wrota o szerokości aa oddzielają wodę o głębokościach h1h_1 i h2h_2, gdzie h1>h2h_1>h_2, to: F1=12ρgah12F_1=\frac{1}{2}\rho gah_1^2 F2=12ρgah22F_2=\frac{1}{2}\rho gah_2^2 Wypadkowa siła ma wartość: Fwyp=12ρga(h12−h22)F_{\text{wyp}}=\frac{1}{2}\rho ga(h_1^2-h_2^2)

3. Siła parcia na dno i pionowe ściany

### Paradoks hydrostatyczny Niech kilka naczyń ma takie samo pole dna SS, jest napełnionych tą samą cieczą do tej samej wysokości hh, ale ma różne kształty. W każdym z nich: ph=ρghp_h=\rho gh oraz: Fd=ρghSF_d=\rho ghS Siła parcia na dno jest więc taka sama, mimo że ilość i ciężar cieczy mogą być różne. Wyjaśnienie wynika z działania ścianek naczynia na ciecz. W zależności od ich nachylenia siła reakcji ścianek może mieć składową pionową skierowaną w górę albo w dół. Dlatego parcie na dno nie musi być równe ciężarowi całej cieczy. ### Dlaczego mała ilość wody może wywołać duże parcie? Jeżeli do pełnego zbiornika dołączymy bardzo wąską, pionową rurkę i podniesiemy w niej poziom wody o dużą wysokość hh, ciśnienie na poziomie połączenia wzrośnie o: Δp=ρgh\Delta p=\rho gh Nie decyduje o tym masa wody znajdującej się w cienkiej rurce, lecz wysokość słupa. Duże ciśnienie działające na dużą powierzchnię ścian zbiornika może dawać bardzo dużą siłę parcia. Nie oznacza to jednak, że ciśnienie ma tę samą wartość w każdym punkcie zbiornika. W cieczy spoczywającej nadal rośnie ono wraz z głębokością.

4. Ciecze warstwowe, naczynia połączone i manometr U-rurkowy

### Kilka warstw cieczy Jeżeli nad punktem znajduje się kilka warstw niemieszających się cieczy, przyrosty ciśnienia sumują się. Dla dwóch warstw: p=ps+ρ1gh1+ρ2gh2p=p_s+\rho_1gh_1+\rho_2gh_2 Ogólnie przechodząc w dół przez warstwę cieczy o gęstości ρ\rho i wysokości Δh\Delta h, dodajemy ρgΔh\rho g\Delta h. Przechodząc w górę — odejmujemy tę wartość. ### Naczynia połączone z tą samą cieczą Jeżeli oba ramiona są otwarte do tej samej atmosfery i zawierają tę samą ciecz, poziomy swobodnych powierzchni ustalają się na tej samej wysokości. Najważniejsza zasada brzmi: **w tej samej spoczywającej i połączonej cieczy punkty leżące na tym samym poziomie mają takie samo ciśnienie**. ### Dwie ciecze o różnych gęstościach Jeżeli w U-rurce znajdują się dwie niemieszające się ciecze, wybieramy poziom odniesienia przecinający tę samą ciągłą ciecz w obu ramionach. Dla ramion otwartych do atmosfery: p0+ρ1gh1=p0+ρ2gh2p_0+\rho_1gh_1=p_0+\rho_2gh_2 Po skróceniu p0p_0: ρ1h1=ρ2h2\rho_1h_1=\rho_2h_2 Ciecz o mniejszej gęstości tworzy wyższy słup. ### Przesunięcie poziomów w symetrycznej U-rurce Jeżeli oba ramiona mają jednakowy przekrój, obniżenie poziomu w jednym ramieniu o Δy\Delta y powoduje podniesienie poziomu w drugim o tę samą wartość. Różnica poziomów wynosi wtedy: Δh=2Δy\Delta h=2\Delta y ### Otwarty manometr cieczowy Manometr mierzy **różnicę ciśnień**. Dla cieczy manometrycznej o gęstości ρm\rho_m: ∣pgaz−p0∣=ρmgΔh|p_{\text{gaz}}-p_0|=\rho_mg\Delta h Jeżeli poziom cieczy po stronie gazu jest niżej, to pgaz>p0p_{\text{gaz}}>p_0 i: pgaz=p0+ρmgΔhp_{\text{gaz}}=p_0+\rho_mg\Delta h Jeżeli poziom po stronie gazu jest wyżej, to pgaz<p0p_{\text{gaz}}<p_0 i: pgaz=p0−ρmgΔhp_{\text{gaz}}=p_0-\rho_mg\Delta h Najbezpieczniej nie zapamiętywać znaku na pamięć: większe ciśnienie spycha ciecz w swoim ramieniu niżej. ### Wieża ciśnień Jeżeli zwierciadło wody w wieży znajduje się o pionową różnicę wysokości ΔH\Delta H ponad kranem, to nadciśnienie hydrostatyczne w kranie wynosi: pman=ρgΔHp_{\text{man}}=\rho g\Delta H Ciśnienie bezwzględne wynosi natomiast: pbezwzgl=p0+ρgΔHp_{\text{bezwzgl}}=p_0+\rho g\Delta H

5. Strategia rozwiązywania zadań i pułapki

### Krok 1: Ustal, jakie ciśnienie jest potrzebne Rozróżnij: - ciśnienie hydrostatyczne: ph=ρghp_h=\rho gh, - ciśnienie bezwzględne w otwartym zbiorniku: p=p0+ρghp=p_0+\rho gh, - różnicę ciśnień lub nadciśnienie: Δp=p−p0\Delta p=p-p_0. ### Krok 2: Wybierz właściwą pionową różnicę poziomów We wzorze ρgh\rho gh używamy pionowej głębokości. W naczyniach połączonych zaznacz poziom, na którym porównujesz ciśnienia. ### Krok 3: Sprawdź, czy ciśnienie jest stałe na powierzchni Dla poziomego dna można bezpośrednio użyć F=pSF=pS. Dla pionowej prostokątnej ściany od powierzchni do głębokości HH korzystamy z ciśnienia średniego: ph,sˊr=12ρgHp_{h,\text{śr}}=\frac{1}{2}\rho gH ### Krok 4: Dla kilku cieczy zapisuj bilans warstwa po warstwie Schodząc w dół dodawaj ρgΔh\rho g\Delta h, a idąc w górę odejmuj tę wartość. Na tym samym poziomie w tej samej połączonej cieczy ciśnienia są równe. ### Krok 5: Dopiero potem podstaw wartości Najpierw zapisz wzór symboliczny i ewentualnie go przekształć. Następnie zamień dane na jednostki SI i wykonaj obliczenia. Przydatne przeliczenia: - 1 cm=10−2 m1\,\text{cm}=10^{-2}\,\text{m}, - 1 cm2=10−4 m21\,\text{cm}^2=10^{-4}\,\text{m}^2, - 1 dm3=1 l=10−3 m31\,\text{dm}^3=1\,\text{l}=10^{-3}\,\text{m}^3, - 1 g/cm3=1000 kg/m31\,\text{g/cm}^3=1000\,\text{kg/m}^3, - 1 hPa=100 Pa1\,\text{hPa}=100\,\text{Pa}.

5. Strategia rozwiązywania zadań i pułapki

### Nie myl php_h z ciśnieniem bezwzględnym W otwartym zbiorniku: ph=ρgh,p=p0+ρghp_h=\rho gh, \qquad p=p_0+\rho gh ### Nie używaj ciśnienia maksymalnego dla całej pionowej ściany Dla ściany od powierzchni do głębokości HH: ph,sˊr=12ρgHp_{h,\text{śr}}=\frac{1}{2}\rho gH a nie ρgH\rho gH. ### Ciśnienie atmosferyczne nie zawsze trzeba dodawać Przy obliczaniu siły wypadkowej sprawdź ciśnienie po obu stronach powierzchni. Jeżeli po obu stronach występuje ten sam składnik p0p_0, redukuje się on w różnicy ciśnień. ### W U-rurce porównuj właściwe punkty Równość ciśnień dotyczy punktów na tym samym poziomie w tej samej ciągłej cieczy. Nie można dowolnie przyrównywać ciśnień na różnych wysokościach. ### Uważaj na podwójne przesunięcie poziomów W U-rurce o jednakowych przekrojach, jeżeli jeden poziom przesuwa się o Δy\Delta y w dół, drugi przesuwa się o Δy\Delta y w górę, więc różnica zmienia się o 2Δy2\Delta y. ### W manometrze najpierw ustal, po której stronie poziom jest niżej Większe ciśnienie spycha ciecz niżej. To pozwala poprawnie wybrać znak przy ρgΔh\rho g\Delta h. ### W zamkniętym naczyniu ciśnienie nad cieczą nie musi być równe p0p_0 Dla szczelnie zamkniętej butelki z otworem może zachodzić: pwewn+ρgh=p0p_{\text{wewn}}+\rho gh=p_0 Dlatego zawsze ustal warunki na powierzchni cieczy, zanim użyjesz wzoru na ciśnienie na danej głębokości.