Hydrostatyka · Ciśnienie

7.1 Ciśnienie i prawo Pascala

1. Ciśnienie — definicja, jednostki i nacisk na podłoże

### Czym jest ciśnienie? Ciśnienie opisuje, jak duża wartość siły działającej prostopadle do powierzchni przypada na jednostkę pola tej powierzchni: p=F⊥Sp = \frac{F_\perp}{S} gdzie pp oznacza ciśnienie, F⊥F_\perp — wartość składowej siły prostopadłej do powierzchni, a SS — pole powierzchni. Ciśnienie jest wielkością skalarną. Dla ciała stałego spoczywającego na podłożu mówimy o **sile nacisku** na podłoże. Dla cieczy lub gazu działających na ściankę naczynia używamy określenia **siła parcia**. Siła wywołana ciśnieniem jest skierowana prostopadle do powierzchni. Jeżeli ciało spoczywa na poziomym podłożu, pozostaje w równowadze i nie działają na nie inne siły mające składową pionową, wtedy wartość siły nacisku wynosi: Fn=mgF_n = mg ### Jednostka ciśnienia Podstawową jednostką ciśnienia w układzie SI jest paskal: 1 Pa=1 Nm21\,\text{Pa} = 1\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2} Przydatne przeliczenia: - 1 hPa=102 Pa1\,\text{hPa} = 10^2\,\text{Pa}, - 1 kPa=103 Pa1\,\text{kPa} = 10^3\,\text{Pa}, - 1 MPa=106 Pa=1 Nmm21\,\text{MPa} = 10^6\,\text{Pa} = 1\,\frac{\text{N}}{\text{mm}^2}, - 1 bar=105 Pa1\,\text{bar} = 10^5\,\text{Pa}, - 1 atm=101 325 Pa1\,\text{atm} = 101\,325\,\text{Pa}, - 1 mmHg≈133,3 Pa1\,\text{mmHg} \approx 133{,}3\,\text{Pa}. ### Wpływ pola powierzchni na ciśnienie Przy tej samej sile nacisku: - mniejsze pole SS oznacza większe ciśnienie, - większe pole SS oznacza mniejsze ciśnienie. Dlatego narty lub rakiety śnieżne zmniejszają zapadanie się w śniegu: zwiększają pole styku, a przez to zmniejszają ciśnienie. ### Szczególny przypadek jednorodnej bryły Dla jednorodnej bryły o pionowych ścianach, polu podstawy SS, wysokości hh i gęstości ρ\rho, która spoczywa na poziomej podstawie bez dodatkowego obciążenia: V=Sh,m=ρShV = Sh, \qquad m = \rho Sh oraz Fn=mg=ρShg.F_n = mg = \rho Shg. Stąd: p=FnS=ρgh.p = \frac{F_n}{S} = \rho gh. Jest to wynik dla tej szczególnej geometrii i tych warunków — nie jest ogólnym wzorem na ciśnienie wywierane przez dowolną bryłę. Dla jednorodnego sześcianu o krawędzi aa: p=ρga.p = \rho ga.

2. Prawo Pascala i urządzenia hydrauliczne

### Prawo Pascala W zamkniętym płynie będącym w równowadze **zmiana ciśnienia wywołana działaniem zewnętrznym jest przekazywana jednakowo do wszystkich punktów płynu oraz na ścianki naczynia**. Prawo Pascala dotyczy przekazywania zmiany ciśnienia. Nie oznacza ono, że ciśnienie bezwzględne musi być jednakowe w punktach leżących na różnych wysokościach. W doświadczeniu z naczyniem mającym otwory skierowane w różne strony zwiększenie ciśnienia tłokiem powoduje wypływ cieczy przez otwory. Pokazuje to, że zmiana ciśnienia przenosi się w całej cieczy, a siła parcia cieczy na powierzchnię jest do niej prostopadła. ### Prasa i podnośnik hydrauliczny Rozważmy idealny układ hydrauliczny z nieściśliwą cieczą. Pomijamy tarcie, straty oraz wpływ niewielkiej różnicy wysokości tłoków. Jeżeli na mały tłok o polu S1S_1 działa siła F1F_1, wytwarza ona przyrost ciśnienia: Δp=F1S1.\Delta p = \frac{F_1}{S_1}. Ten sam przyrost ciśnienia działa na duży tłok o polu S2S_2: Δp=F2S2.\Delta p = \frac{F_2}{S_2}. Zatem: F1S1=F2S2\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} i F2=F1S2S1.F_2 = F_1\frac{S_2}{S_1}. To **ciśnienie**, a nie siła, jest przekazywane przez ciecz. Większa siła na dużym tłoku wynika z jego większego pola. Dla tłoków kołowych: F2F1=S2S1=(d2d1)2.\frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2. Dlatego dwukrotnie większa średnica tłoka daje czterokrotnie większe pole, a w modelu idealnym — czterokrotnie większą siłę. ### Zysk na sile oznacza stratę na drodze Nieściśliwość cieczy oznacza zachowanie objętości: S1h1=S2h2.S_1h_1 = S_2h_2. Stąd: h1h2=S2S1.\frac{h_1}{h_2} = \frac{S_2}{S_1}. Jeżeli na sile zyskujemy kk razy, mały tłok musi przebyć drogę kk razy większą niż duży tłok. W idealnym urządzeniu bez strat: W1=F1h1=F2h2=W2.W_1 = F_1h_1 = F_2h_2 = W_2. Urządzenie hydrauliczne nie wytwarza energii — zwiększenie siły odbywa się kosztem drogi. ### Połączenie dźwigni z układem hydraulicznym Jeżeli mały tłok jest naciskany za pomocą dźwigni, najpierw stosujemy warunek równowagi momentów: FdzˊwR1=F1R2.F_{\text{dźw}}R_1 = F_1R_2. Stąd: F1=FdzˊwR1R2,F_1 = F_{\text{dźw}}\frac{R_1}{R_2}, a następnie: F2=FdzˊwR1R2S2S1.F_2 = F_{\text{dźw}}\frac{R_1}{R_2}\frac{S_2}{S_1}. Ramiona R1R_1 i R2R_2 muszą być mierzone względem osi obrotu odpowiednio dla sił, które im przypisujemy. ### Liczba cykli pompowania Jeżeli jednorazowy roboczy skok małego tłoka wynosi x1x_1, wyparta objętość cieczy to: ΔV=S1x1.\Delta V = S_1x_1. Duży tłok unosi się wtedy o: x2=S1S2x1.x_2 = \frac{S_1}{S_2}x_1. Aby unieść go na wysokość HH, potrzeba: n=Hx2=HS2x1S1.n = \frac{H}{x_2} = \frac{HS_2}{x_1S_1}. Jeżeli zadanie pyta o liczbę **pełnych** cykli i z obliczeń wychodzi liczba niecałkowita, wynik należy zaokrąglić w górę.

3. Pułapki i najczęstsze błędy maturalne

### 1. Błędne przeliczanie jednostek pola Nie wolno przeliczać cm2\text{cm}^2 na m2\text{m}^2 tak samo jak centymetrów na metry: 1 cm2=(10−2 m)2=10−4 m2.1\,\text{cm}^2 = (10^{-2}\,\text{m})^2 = 10^{-4}\,\text{m}^2. Podobnie: 1 mm2=10−6 m2.1\,\text{mm}^2 = 10^{-6}\,\text{m}^2. ### 2. Mylenie siły z ciśnieniem Siła ma jednostkę niuton (N\text{N}), a ciśnienie — paskal (Pa\text{Pa}). Wzór p=F⊥Sp = \frac{F_\perp}{S} pokazuje, że ta sama siła może wywoływać różne ciśnienia zależnie od pola powierzchni. ### 3. Prawo Pascala nie przekazuje „tej samej siły” W cieczy przekazywana jest zmiana ciśnienia: Δp=F1S1=F2S2.\Delta p = \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}. Jeżeli S2>S1S_2 > S_1, to F2>F1F_2 > F_1. ### 4. Średnica tłoka wchodzi do wzoru w kwadracie Dla tłoka kołowego: S=πd24,S = \frac{\pi d^2}{4}, więc: F2F1=(d2d1)2.\frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2. Trzykrotny wzrost średnicy oznacza dziewięciokrotny wzrost pola, a nie trzykrotny. ### 5. Nie zawsze Fn=mgF_n = mg Równość Fn=mgF_n = mg można zastosować dla ciała spoczywającego na poziomym podłożu, gdy nie występują inne siły ze składową pionową. W innych sytuacjach siłę nacisku trzeba wyznaczyć z warunku dynamiki lub równowagi. ### 6. Zysk na sile nie oznacza zysku energii W idealnym układzie hydraulicznym: F1h1=F2h2.F_1h_1 = F_2h_2. Jeżeli duży tłok działa siłą wielokrotnie większą, przesuwa się odpowiednio na krótszej drodze. W rzeczywistym urządzeniu praca wejściowa jest większa od użytecznej pracy wyjściowej z powodu strat.