Hydrostatyka · Siła wyporu

7.3 Siła wyporu

Skąd bierze się siła wyporu i prawo Archimedesa

### Skąd bierze się siła wyporu? Rozważmy prostopadłościan o polu podstawy SS i wysokości aa, całkowicie zanurzony w cieczy o gęstości ρc\rho_c. Górna podstawa znajduje się na głębokości hh, a dolna na głębokości h+ah+a. W obliczeniach możemy posługiwać się ciśnieniem hydrostatycznym ph=ρcghp_h=\rho_cgh. Wkład ciśnienia atmosferycznego jest taki sam dla obu podstaw i przy wyznaczaniu różnicy sił parcia się redukuje. Na górną podstawę ciecz działa w dół siłą: F1=ρcghSF_1=\rho_cghS Na dolną podstawę ciecz działa w górę większą siłą: F2=ρcg(h+a)SF_2=\rho_cg(h+a)S Siły parcia na przeciwległe ściany boczne równoważą się. Wypadkowa pionowa siła pochodząca od cieczy wynosi więc: Fw=F2−F1F_w=F_2-F_1 Fw=ρcg(h+a)S−ρcghS=ρcgaSF_w=\rho_cg(h+a)S-\rho_cghS=\rho_cgaS Ponieważ aS=VaS=V, otrzymujemy: Fw=ρcgVF_w=\rho_cgV ### Prawo Archimedesa Na ciało zanurzone w cieczy działa skierowana pionowo w górę siła wyporu równa ciężarowi wypartej cieczy: Fw=ρcgVzanF_w=\rho_cgV_{\text{zan}} gdzie VzanV_{\text{zan}} oznacza objętość zanurzonej części ciała. Dla ciała całkowicie zanurzonego Vzan=VV_{\text{zan}}=V.

Skąd bierze się siła wyporu i prawo Archimedesa

### Najważniejsze wnioski Ze wzoru Fw=ρcgVzanF_w=\rho_cgV_{\text{zan}} wynika, że wartość siły wyporu zależy od: * gęstości cieczy ρc\rho_c, * przyspieszenia grawitacyjnego gg, * objętości zanurzonej części ciała VzanV_{\text{zan}}. Dla tego samego ciała całkowicie zanurzonego w jednorodnej, praktycznie nieściśliwej cieczy siła wyporu nie zależy od głębokości zanurzenia. Zwiększenie głębokości zwiększa ciśnienie zarówno przy górnej, jak i dolnej części ciała, ale różnica ciśnień pozostaje taka sama. Jeżeli ciało jest zanurzone tylko częściowo, do wzoru należy wstawić wyłącznie objętość części znajdującej się pod powierzchnią cieczy.

Ważenie hydrostatyczne i wyznaczanie gęstości

### Ciężar w powietrzu i po zanurzeniu Ciało zawieszamy na siłomierzu i wykonujemy dwa pomiary. W powietrzu, pomijając niewielką siłę wyporu powietrza, siłomierz wskazuje: F1=mgF_1=mg Po całkowitym zanurzeniu ciała w cieczy o znanej gęstości ρc\rho_c wskazanie maleje do wartości F2F_2. Dla ciała pozostającego w spoczynku: F2+Fw=mgF_2+F_w=mg Stąd: Fw=F1−F2F_w=F_1-F_2 Różnica wskazań siłomierza jest więc równa wartości siły wyporu. Ponieważ: Fw=ρcgVF_w=\rho_cgV możemy wyznaczyć objętość badanego ciała: V=F1−F2ρcgV=\frac{F_1-F_2}{\rho_cg}

Ważenie hydrostatyczne i wyznaczanie gęstości

### Wyznaczanie gęstości ciała Masa badanego ciała wynika z pierwszego pomiaru: m=F1gm=\frac{F_1}{g} Objętość otrzymujemy z różnicy wskazań: V=F1−F2ρcgV=\frac{F_1-F_2}{\rho_cg} Zatem gęstość ciała jest równa: ρx=mV=ρcF1F1−F2\rho_x=\frac{m}{V}=\rho_c\frac{F_1}{F_1-F_2} W tym wzorze przyspieszenie gg się skraca. Do wyznaczenia gęstości nie trzeba więc znać objętości próbki ani wykonywać pomiaru jej wymiarów. ### Wpływ niepewności wskazań siłomierza Jeżeli oba odczyty mają niepewność ΔF\Delta F, można oszacować największą i najmniejszą możliwą gęstość. Wygodnie zapisać: ρx=ρc11−F2F1\rho_x=\rho_c\frac{1}{1-\frac{F_2}{F_1}} Największą wartość otrzymamy dla większego F2F_2 i mniejszego F1F_1: ρmax⁡=ρc11−F2+ΔFF1−ΔF\rho_{\max}=\rho_c\frac{1}{1-\frac{F_2+\Delta F}{F_1-\Delta F}} Najmniejszą wartość otrzymamy dla mniejszego F2F_2 i większego F1F_1: ρmin⁡=ρc11−F2−ΔFF1+ΔF\rho_{\min}=\rho_c\frac{1}{1-\frac{F_2-\Delta F}{F_1+\Delta F}} Maksymalną niepewność można wtedy oszacować ze wzoru: Δρ=ρmax⁡−ρmin⁡2\Delta\rho=\frac{\rho_{\max}-\rho_{\min}}{2}

Wyciąganie i opuszczanie ciał w cieczy

### Ciało całkowicie zanurzone Rozważmy ciało podnoszone pionowo ruchem jednostajnym. Pomijamy opór cieczy. Działają na nie: * ciężar Fg=mgF_g=mg w dół, * siła wyporu FwF_w w górę, * siła naciągu liny NN w górę. Ponieważ ruch jest jednostajny, wypadkowa siła wynosi zero: N+Fw=mgN+F_w=mg Stąd: N=mg−Fw=mg−ρcgVN=mg-F_w=mg-\rho_cgV Dopóki ciało jest całkowicie zanurzone, Vzan=VV_{\text{zan}}=V, więc siła wyporu i naciąg liny są stałe. ### Wynurzanie przez powierzchnię cieczy Dla prostopadłościanu o polu podstawy SS niech xx oznacza wysokość części pozostającej pod wodą. Wtedy: Vzan=SxV_{\text{zan}}=Sx Fw(x)=ρcgSxF_w(x)=\rho_cgSx Podczas wynurzania xx maleje, dlatego siła wyporu maleje liniowo, a naciąg liny rośnie liniowo od mg−Fw,max⁡mg-F_{w,\max} do mgmg.

Wyciąganie i opuszczanie ciał w cieczy

### Gdy siła jest stała Pracę stałej siły obliczamy ze wzoru: W=Fscos⁡αW=Fs\cos\alpha Podczas pionowego podnoszenia całkowicie zanurzonego ciała siła naciągu i przemieszczenie mają ten sam zwrot, więc: W1=NsW_1=Ns ### Gdy ciało wynurza się z cieczy W czasie wynurzania siła wyporu maleje liniowo od Fw,max⁡F_{w,\max} do zera. Jej średnia wartość na tym odcinku wynosi: Fw,sˊr=Fw,max⁡2F_{w,\text{śr}}=\frac{F_{w,\max}}{2} Dlatego średnia siła naciągu jest równa: Nsˊr=mg−Fw,max⁡2N_{\text{śr}}=mg-\frac{F_{w,\max}}{2} Jeżeli wysokość ciała wynosi hh, praca podczas przejścia przez powierzchnię cieczy wynosi: W2=Nsˊrh=(mg−Fw,max⁡2)hW_2=N_{\text{śr}}h=\left(mg-\frac{F_{w,\max}}{2}\right)h Ten sam wynik można odczytać jako pole pod liniowym wykresem siły w funkcji drogi. Nie jest do tego potrzebny rachunek całkowy. ### Uwaga na znak pracy przy opuszczaniu Gdy ciało jest opuszczane pionowo w dół, a siła naciągu działa w górę, kąt między siłą a przemieszczeniem wynosi 180∘180^\circ. Praca siły naciągu jest wtedy ujemna: WN=−NsW_N=-Ns Jeżeli w zadaniu pytamy tylko o wartość pracy co do modułu, otrzymujemy ∣WN∣=Ns|W_N|=Ns.

Pływanie ciał i głębokość zanurzenia

### Porównanie ciężaru i siły wyporu Dla ciała całkowicie zanurzonego, na które nie działają inne siły pionowe, porównujemy: Fg=ρkVgF_g=\rho_kVg Fw=ρcVgF_w=\rho_cVg Jeżeli ρk>ρc\rho_k>\rho_c, ciężar jest większy od siły wyporu i ciało ma tendencję do opadania. Jeżeli ρk=ρc\rho_k=\rho_c, siły mogą się równoważyć przy pełnym zanurzeniu. Jeżeli ρk<ρc\rho_k<\rho_c, przy pełnym zanurzeniu siła wyporu jest większa od ciężaru i ciało unosi się ku powierzchni. ### Ciało pływające na powierzchni Po ustaleniu równowagi: Fw=FgF_w=F_g czyli: ρcgVzan=ρkgV\rho_cgV_{\text{zan}}=\rho_k gV Po skróceniu gg: VzanV=ρkρc\frac{V_{\text{zan}}}{V}=\frac{\rho_k}{\rho_c} Im mniejsza jest gęstość ciała w porównaniu z gęstością cieczy, tym mniejsza część jego objętości musi być zanurzona.

Pływanie ciał i głębokość zanurzenia

### Zależność między wysokością i gęstością Dla prostopadłościanu lub walca o stałym polu przekroju SS: V=SHV=SH Vzan=ShzanV_{\text{zan}}=Sh_{\text{zan}} Z warunku pływania otrzymujemy: hzanH=ρkρc\frac{h_{\text{zan}}}{H}=\frac{\rho_k}{\rho_c} Jeżeli znamy część wynurzoną, najpierw wyznaczamy część zanurzoną: hzanH=1−hwynH\frac{h_{\text{zan}}}{H}=1-\frac{h_{\text{wyn}}}{H} ### Przykład Sześcienny klocek pływa w benzenie o gęstości ρb=700 kg/m3\rho_b=700\,\text{kg/m}^3 i wystaje ponad ciecz na 34\frac{3}{4} swojej wysokości. Zanurzona jest więc 14\frac{1}{4} wysokości. Zatem: ρk=ρbhzanH\rho_k=\rho_b\frac{h_{\text{zan}}}{H} ρk=700 kgm3⋅14=175 kgm3\rho_k=700\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot\frac14=175\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}

Pontony, tratwy i balast

### Zanurzenie tratwy lub pontonu Jeżeli tratwa o masie własnej mm i polu dna SS przewozi ładunek o masie MM, to w stanie równowagi: ρwgSx=(m+M)g\rho_wgSx=(m+M)g gdzie xx oznacza głębokość zanurzenia. Stąd: x=m+MρwSx=\frac{m+M}{\rho_wS} Jeżeli wysokość konstrukcji wynosi hh, procentowe zanurzenie ma wartość: xh⋅100%\frac{x}{h}\cdot100\% ### Balastowanie Dodanie balastu zwiększa ciężar układu, dlatego do równowagi potrzebna jest większa objętość wypartej wody. Dla pustej, szczelnej beczki o masie m0m_0, którą chcemy zanurzyć do objętości VzanV_{\text{zan}}: ρwgVzan=(m0+mb)g\rho_wgV_{\text{zan}}=(m_0+m_b)g Stąd masa potrzebnego balastu wynosi: mb=ρwVzan−m0m_b=\rho_wV_{\text{zan}}-m_0 Jeżeli beczka ma być zanurzona do połowy swojej objętości: mb=12ρwV−m0m_b=\frac12\rho_wV-m_0

Jak rozwiązywać zadania z siły wyporu

### Na co szczególnie uważać? 1. **Do wzoru na siłę wyporu wstawiaj gęstość cieczy, nie ciała:** Fw=ρcgVzanF_w=\rho_cgV_{\text{zan}} 2. **Przy częściowym zanurzeniu używaj tylko objętości zanurzonej.** Pełną objętość VV można wstawić dopiero wtedy, gdy całe ciało znajduje się w cieczy. 3. **Nie mieszaj ciśnienia hydrostatycznego z ciśnieniem całkowitym.** Jeżeli liczysz różnicę sił parcia na dwie powierzchnie zanurzone w tej samej cieczy, składnik od ciśnienia atmosferycznego się redukuje. 4. **Wskazanie siłomierza po zanurzeniu nie jest równe ciężarowi ciała:** F2=mg−FwF_2=mg-F_w 5. **Warunek ∑Fy=0\sum F_y=0 stosuj tylko dla spoczynku lub ruchu jednostajnego.** Jeżeli ciało przyspiesza, trzeba użyć II zasady dynamiki: ∑Fy=ma\sum F_y=ma 6. **Podczas wynurzania siła wyporu nie jest stała.** Dla prostopadłościanu maleje liniowo wraz z zanurzoną wysokością. Przy obliczaniu pracy można wtedy użyć wartości średniej siły lub pola pod wykresem. 7. **Przy pracy zwracaj uwagę na kierunek przemieszczenia.** Siła naciągu wykonuje dodatnią pracę przy podnoszeniu i ujemną przy opuszczaniu, jeśli działa przeciwnie do ruchu. 8. **Sprawdzaj, czy otrzymany stopień zanurzenia jest fizycznie możliwy.** Dla swobodnie pływającego ciała musi zachodzić 0<Vzan≤V0<V_{\text{zan}}\le V.

Jak rozwiązywać zadania z siły wyporu

### Uniwersalny tok rozumowania **Krok 1:** Ustal stan układu. Czy ciało pływa, jest całkowicie zanurzone, wisi na lince, jest podnoszone czy opuszczane? **Krok 2:** Zaznacz wszystkie siły działające w pionie: ciężar F⃗g\vec{F}_g, siłę wyporu F⃗w\vec{F}_w oraz ewentualnie naciąg liny lub reakcję podłoża. **Krok 3:** Dobierz równanie ruchu: * spoczynek lub ruch jednostajny: ∑Fy=0\sum F_y=0, * ruch przyspieszony: ∑Fy=ma\sum F_y=ma. **Krok 4:** Zapisz zależności fizyczne przed podstawieniem liczb: Fg=mgF_g=mg Fw=ρcgVzanF_w=\rho_cgV_{\text{zan}} **Krok 5:** Dopiero teraz wykorzystaj geometrię bryły, warunek pływania lub wskazania siłomierza i wyznacz szukaną wielkość. **Krok 6:** Sprawdź jednostki i sens wyniku. Przydatne przeliczenia: * 1 dm3=1 l=10−3 m31\,\text{dm}^3=1\,\text{l}=10^{-3}\,\text{m}^3, * 1 cm3=10−6 m31\,\text{cm}^3=10^{-6}\,\text{m}^3, * 1 g/cm3=1000 kg/m31\,\text{g/cm}^3=1000\,\text{kg/m}^3.