Ruch drgający · Drgania tłumione i wymuszone. Rezonans

Drgania tłumione i wymuszone. Rezonans

Drgania swobodne i tłumione

Jeśli po jednorazowym wychyleniu zostawisz układ samemu sobie, obserwujesz drgania swobodne. W idealnym modelu pomijamy opory, więc amplituda i energia mechaniczna pozostają stałe. W rzeczywistym układzie opór powietrza, cieczy lub tarcie odbiera energię mechaniczną. Takie drgania nazywamy tłumionymi: amplituda stopniowo maleje, a energia mechaniczna zamienia się głównie w energię wewnętrzną układu i otoczenia. Częstotliwość własna

f_0

mówi, jak szybko układ drga swobodnie. Zależy od właściwości układu, na przykład od masy i sprężystości.

Drgania swobodne i tłumione

W idealnym oscylatorze sprężynowym całkowita energia mechaniczna zależy od amplitudy:

E = \frac{1}{2}kA^2

E

to energia w dżulach,

k

— współczynnik sprężystości sprężyny w

\text{N/m}

, a

A

— maksymalne wychylenie z położenia równowagi w metrach. Zależność

E\propto A^2

oznacza, że energia maleje szybciej niż sama amplituda. Dla idealnego układu masa–sprężyna:

T_0=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}, \qquad f_0=\frac{1}{T_0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}

T_0

to okres,

f_0

— częstotliwość własna,

m

— masa ciężarka, a

k

— współczynnik sprężystości. Wzory zakładają pomijalne tłumienie. Praca sił oporu jest ujemna: zmniejsza energię mechaniczną. Jej wartość bezwzględna jest równa ubytkowi tej energii.

Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu

Gdy działa na układ powtarzająca się siła, która dostarcza mu energii, powstają drgania wymuszone. Możemy opisać taką siłę wzorem:

F(t)=F_0\sin(\omega t)

F_0

oznacza maksymalną wartość siły,

t

— czas, a

\omega

— częstość kołową wymuszenia. Częstotliwość tej siły wynosi

f=\frac{\omega}{2\pi}

. Po krótkim stanie przejściowym układ osiąga stan ustalony. Wtedy drga z częstotliwością siły wymuszającej

f

, a niekoniecznie z własną częstotliwością

f_0

. Amplituda zależy od tego, jak bliskie są te częstotliwości, oraz od siły tłumienia. W rzeczywistym układzie tłumienie sprawia, że amplituda pozostaje skończona także wtedy, gdy

f

jest bliskie

f_0

. Nie używaj wzoru na amplitudę bez tłumienia do opisu rzeczywistego rezonansu.

Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu

Rezonans zachodzi, gdy częstotliwość wymuszającej siły jest bliska częstotliwości własnej układu:

f\approx f_0

Wtedy układ może osiągnąć dużą amplitudę, bo siła regularnie dostarcza energię w odpowiednim rytmie. Im silniejsze tłumienie, tym mniejsza amplituda rezonansowa. Dlatego w rzeczywistym układzie rezonans nie oznacza nieskończonego wzrostu drgań. Pamiętaj:

f

oznacza częstotliwość wymuszania, a

f_0

— częstotliwość własną układu.

Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu

Zauważysz rezonans, gdy układ silnie odpowiada na powtarzające się pobudzenie o odpowiedniej częstotliwości. Popychana regularnie huśtawka może wychylać się coraz mocniej. Pudło instrumentu wzmacnia dźwięk strun dzięki drganiom o zbliżonej częstotliwości. W maszynach i budowlach nadmierne drgania mogą być niebezpieczne. Tłumiki i amortyzatory rozpraszają energię, więc ograniczają amplitudę drgań.

Pułapki i najczęstsze błędy maturalne

W stanie ustalonym układ drga z częstotliwością siły wymuszającej

f

. Nie myl jej z częstotliwością własną

f_0

. Rezonans oznacza dużą amplitudę, gdy

f

jest bliskie

f_0

. Tłumienie ogranicza ten wzrost. Jeśli pojazd mija powtarzające się nierówności co

L

metrów, a jedzie z prędkością

v

, czas między kolejnymi uderzeniami wynosi

T=\frac{L}{v}

, a częstotliwość wymuszenia

f=\frac{v}{L}

. Pamiętaj:

T

to okres,

L

— odległość między nierównościami, a

v

— prędkość pojazdu. Praca sił oporu jest ujemna. Zmniejsza energię mechaniczną układu.