Energia w ruchu harmonicznym — teoria i zadania maturalne

Energia potencjalna sprężyny

Gdy powoli rozciągasz lub ściskasz sprężynę od położenia równowagi o odległość

x

, wykonujesz pracę i przekazujesz energię sprężynie. Dla sprężyny spełniającej prawo Hooke’a:

E_{ps}=\frac{1}{2}kx^2

E_{ps}

to energia potencjalna sprężystości,

k

— współczynnik sprężystości w

\text{N/m}

, a

x

— odkształcenie w metrach. Energia jest nieujemna zarówno przy rozciąganiu, jak i ściskaniu, bo we wzorze występuje

x^2

. Zwróć uwagę na znak pracy. Przy powolnym odkształcaniu dodatnią pracę wykonuje siła zewnętrzna:

W_{zew}=\Delta E_{ps}

. Siła sprężystości działa przeciwnie do odkształcenia, więc jej praca jest ujemna:

W_{spr}=-\Delta E_{ps}

.

Energia potencjalna sprężyny

Jeśli odkształcenie zmienia się z

x_1

na

x_2

, porównaj energie sprężyny w obu położeniach:

\Delta E_{ps}=\frac{1}{2}k(x_2^2-x_1^2)

Przy powolnej zmianie odkształcenia pracę wykonuje siła zewnętrzna:

W_{zew}=\Delta E_{ps}

. Praca siły sprężystości ma przeciwny znak:

W_{spr}=-\Delta E_{ps}

. Na wykresie siły zewnętrznej od odkształcenia ta praca odpowiada polu pod wykresem. W pionowym układzie masa–sprężyna możesz wyznaczyć

k

z równowagi: ciężar

mg

równoważy siłę sprężystości

k\Delta l

, więc

k=\frac{mg}{\Delta l}

. Tutaj

m

to masa,

g

— przyspieszenie ziemskie, a

\Delta l

— statyczne wydłużenie sprężyny.

Zasada zachowania energii

W idealnym, poziomym układzie masa–sprężyna pomijamy tarcie, dlatego całkowita energia mechaniczna jest stała. Energia potencjalna sprężyny zmienia się w kinetyczną i odwrotnie:

E=E_k+E_p=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2=\text{const}

m

oznacza masę ciężarka,

v

— jego prędkość,

k

— współczynnik sprężystości, a

x

— wychylenie od położenia równowagi. Amplituda

A

to największa wartość wychylenia. Na końcach ruchu

(|x|=A)

ciężarek na chwilę się zatrzymuje, więc cała energia jest potencjalna. W położeniu równowagi

(x=0)

energia potencjalna sprężyny jest zerowa, a prędkość największa. Stąd:

E=\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}mv_{max}^2

Jeśli chcesz wyznaczyć wartość prędkości w innym położeniu:

|v|=\sqrt{\frac{k}{m}(A^2-x^2)}

Wzór podaje wartość prędkości; kierunek ruchu musisz ustalić osobno.

Zasada zachowania energii

Wychylenie

x

określa, jaka część energii jest potencjalna, a jaka kinetyczna:

\frac{E_p}{E}=\left(\frac{x}{A}\right)^2, \qquad \frac{E_k}{E}=1-\left(\frac{x}{A}\right)^2

W położeniu równowagi

(x=0)

energia jest kinetyczna. W punktach zwrotnych

(|x|=A)

jest potencjalna. Energie są równe przy:

|x|=\frac{A}{\sqrt{2}}

Nie zakładaj, że są równe w połowie amplitudy: energia zależy od kwadratu wychylenia.

Wykresy energii

Dla idealnego oscylatora sprężynowego energia potencjalna zależy od wychylenia jak

E_p=\frac{1}{2}kx^2

. Jej wykres jest parabolą skierowaną ramionami w górę i ma minimum w położeniu równowagi. Energia całkowita

E

jest stała, więc wykres

E(x)

to linia pozioma. Energię kinetyczną odczytasz z zależności

E_k=E-E_p

; jej wykres jest parabolą skierowaną ramionami w dół. Ruch zachodzi tylko dla

-A\le x\le A

, gdzie

A

jest amplitudą.

Wykresy energii

W jednym pełnym okresie

T

ciężarek dwa razy przechodzi przez położenie równowagi i dwa razy dociera do punktu zwrotnego. Dlatego energia kinetyczna i potencjalna powtarzają swój przebieg dwa razy podczas jednego okresu drgań. Okres zmian energii wynosi

T_E=\frac{T}{2}

, a ich częstotliwość

f_E=2f

, gdzie

f=\frac{1}{T}

jest częstotliwością drgań. Na wykresie energii w czasie szukaj więc dwóch takich samych cykli w czasie, w którym położenie wykonuje jeden pełny cykl.

Wahadło i zderzenie z oscylatorem

Gdy wahadło wychyla się nieznacznie, jego energia potencjalna rośnie w przybliżeniu proporcjonalnie do kwadratu wychylenia. Dlatego małe drgania wahadła można opisywać podobnie jak drgania harmoniczne ciężarka na sprężynie. Jeśli

x

oznacza przesunięcie kulki wzdłuż łuku,

m

— jej masę,

g

— przyspieszenie ziemskie, a

l

— długość nici, to:

E_p\approx\frac{mg}{2l}x^2

To przybliżenie jest dobre tylko dla małych kątów. W najwyższych położeniach energia jest głównie potencjalna, a w najniższym położeniu — głównie kinetyczna.

Wahadło i zderzenie z oscylatorem

Podczas zderzenia z oscylatorem rozróżnij sam moment zderzenia od późniejszych drgań. W zderzeniu niesprężystym część energii mechanicznej zamienia się na energię wewnętrzną, dlatego nie zakładaj jej zachowania w tej krótkiej chwili. Po zderzeniu układ może drgać. Jeśli wtedy pomijamy opory, jego energia mechaniczna pozostaje stała i zmienia się między kinetyczną a potencjalną.

Pułapki i najczęstsze błędy maturalne

Energia zależy od kwadratu wychylenia:

E_p\propto x^2

. Dlatego połowa amplitudy nie oznacza połowy energii potencjalnej, a energie kinetyczna i potencjalna są równe przy

|x|=A/\sqrt{2}

. Energia powtarza swój przebieg dwa razy w jednym okresie drgań, więc

T_E=T/2

. Przy zmianie odkształcenia sprężyny odejmij energie w obu położeniach:

\Delta E_{ps}=\frac{1}{2}k(x_2^2-x_1^2)

. Nie podstawiaj do wzoru kwadratu samej różnicy

(x_2-x_1)^2

. W zderzeniu niesprężystym energia mechaniczna nie jest zachowana. Po zderzeniu możesz rozważać zachowanie energii drgań, jeśli opory są pomijalne.