Ruch drgający · Wahadło matematyczne

Wahadło matematyczne — teoria

Model i siła przywracająca

Wahadło matematyczne to model małego ciężarka o masie mm, zawieszonego na lekkiej, nierozciągliwej nici o długości ll. Zakładamy, że opory ruchu są pomijalne, a wahadło porusza się w jednorodnym polu grawitacyjnym. Kąt wychylenia α\alpha mierzymy od pionu. Dla małych wychyleń ruch wahadła można opisać jako harmoniczny.

Model i siła przywracająca

Na ciężarek działa siła ciężkości i naprężenie nici. Naprężenie utrzymuje go na łuku, a styczna składowa ciężaru przyciąga go ku najniższemu położeniu: Ft=−mgsin⁡α.F_t=-mg\sin\alpha. Dla małych kątów wyrażonych w radianach sin⁡α≈α\sin\alpha\approx\alpha. Ponieważ wychylenie po łuku wynosi x=lαx=l\alpha, otrzymujemy Ft≈−(mg/l)xF_t\approx-(mg/l)x. To proporcjonalność potrzebna do drgań harmonicznych.

Okres drgań

Dla małych kątów częstość kołowa i okres wahadła wynoszą: ω=gl,T=2πlg,f=1T.\omega=\sqrt{\frac{g}{l}},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},\qquad f=\frac1T. ll to długość od punktu zawieszenia do środka ciężarka, a gg — przyspieszenie grawitacyjne. Okres rośnie z długością nici i maleje przy większym gg. Nie zależy od masy ciężarka; ten wzór nie opisuje dużych wychyleń.

Energia wahadła

Pomijając opory, energia mechaniczna wahadła jest stała i zamienia się między energią potencjalną a kinetyczną. W skrajnych położeniach prędkość jest równa zeru; w najniższym punkcie jest największa. Jeśli ciężarek opada z wysokości hh, to mgh=mv2/2mgh=mv^2/2, więc v=2ghv=\sqrt{2gh}. Dla maksymalnego kąta αmax\alpha_{max} wysokość wynosi h=l(1−cos⁡αmax)h=l(1-\cos\alpha_{max}).

Wahadło w windzie

W układzie windy zmienia się efektywne przyspieszenie grawitacyjne. Gdy winda przyspiesza w górę z wartością aa, gef=g+ag_{ef}=g+a; gdy przyspiesza w dół, gef=g−ag_{ef}=g-a. Dla małych kątów okres wynosi T=2πl/gefT=2\pi\sqrt{l/g_{ef}}. W swobodnym spadku gef=0g_{ef}=0, więc ciężarek nie ma siły przywracającej do pionowego położenia równowagi i zwykłe drgania wahadła nie zachodzą.

Pomiar przyspieszenia grawitacyjnego

Zmierz długość ll od punktu zawieszenia do środka ciężarka. Zmierz czas tt wielu pełnych drgań i podziel go przez ich liczbę NN: T=t/NT=t/N. Następnie oblicz przyspieszenie grawitacyjne: g=4π2lT2.g=\frac{4\pi^2l}{T^2}. Powtórz pomiar dla kilku długości. Wykres T2(l)T^2(l) powinien być linią prostą o nachyleniu 4π2/g4\pi^2/g.

Zapamiętaj

Wzór T=2πl/gT=2\pi\sqrt{l/g} działa dla małych kątów i pomijalnych oporów. Mierz ll do środka ciężarka, a nie tylko długość nici. Okres nie zależy od masy wahadła.