Ruch drgający · Wahadło sprężynowe

Drgania sprężyn i wahadło sprężynowe

Prawo Hooke’a i łączenie sprężyn

W zakresie małych, sprężystych odkształceń siła sprężystości rośnie proporcjonalnie do wydłużenia lub ściśnięcia: F⃗s=−k Δx⃗.\vec F_s=-k\,\Delta\vec x. kk oznacza sztywność sprężyny w N/m\mathrm{N/m}, a Δx⃗\Delta\vec x — jej odkształcenie względem długości swobodnej. Minus oznacza, że siła działa przeciwnie do odkształcenia. Po przekroczeniu granicy sprężystości sprężyna może nie wrócić do pierwotnego kształtu.

Prawo Hooke’a i łączenie sprężyn

Dla dwóch sprężyn połączonych równolegle ich sztywności się dodają: kz=k1+k2k_z=k_1+k_2. Układ jest wtedy sztywniejszy. Przy połączeniu szeregowym dodają się odwrotności sztywności: 1/kz=1/k1+1/k21/k_z=1/k_1+1/k_2. Układ jest wtedy mniej sztywny. k1k_1 i k2k_2 to sztywności sprężyn, a kzk_z — sztywność zastępcza.

Poziomy oscylator sprężynowy

Wychylenie xx mierz od położenia równowagi. Dla idealnego układu poziomego siła wypadkowa wynosi F=−kxF=-kx, więc ruch jest harmoniczny. Okres i częstotliwość drgań to: T=2πmk,f=1T.T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\qquad f=\frac1T. mm oznacza masę, a kk — sztywność sprężyny. Większa masa wydłuża okres, sztywniejsza sprężyna go skraca. W tym modelu okres nie zależy od amplitudy.

Pionowy oscylator sprężynowy

Zawieszony ciężarek wydłuża sprężynę do równowagi o x0=mg/kx_0=mg/k, gdzie mm to jego masa, a gg — przyspieszenie grawitacyjne. Wychylenie xx mierz od tego nowego położenia równowagi. Po uwzględnieniu ciężaru siła wypadkowa nadal wynosi F=−kxF=-kx, dlatego okres pozostaje T=2πm/kT=2\pi\sqrt{m/k}. Grawitacja przesuwa położenie równowagi, ale nie zmienia okresu.

Pionowy oscylator sprężynowy

Gdy ciało porusza się razem z pionową platformą, siła nacisku wynosi N=m(g+a)N=m(g+a), jeśli zwrot do góry przyjmiesz jako dodatni. aa jest chwilowym przyspieszeniem ciała. W najwyższym punkcie drgań a=−ω2Aa=-\omega^2A, więc N=m(g−ω2A)N=m(g-\omega^2A). Kontakt jest zachowany, gdy ω2A≤g\omega^2A\le g. Przy większym przyspieszeniu platforma opada szybciej niż ciało może za nią podążać i ciężarek się odrywa.

Co warto zapamiętać?

Wychylenie w równaniu F=−kxF=-kx mierz od położenia równowagi, a odkształcenie w prawie Hooke’a — od długości swobodnej sprężyny. To różne punkty odniesienia, zwłaszcza dla sprężyny pionowej. Pamiętaj też: równoległe sprężyny zwiększają sztywność, a szeregowe ją zmniejszają.