Ruch i siły · Siła dośrodkowa

Siła dośrodkowa — kompletne opracowanie teoretyczne

1. Definicja i maturalny charakter siły dośrodkowej

W ruchu po okręgu ciało ma przyspieszenie skierowane do środka toru. Z II zasady dynamiki wynika, że również **wypadkowa składowa sił w kierunku środka okręgu** musi być skierowana do środka. ### Najważniejsza zasada maturalna **Siła dośrodkowa nie jest osobnym rodzajem oddziaływania.** Jest nazwą roli, jaką pełni jedna z sił rzeczywistych albo ich wypadkowa w kierunku promieniowym. Dla ruchu po okręgu o promieniu RR: Fd=mad=mv2R.F_d = m a_d = m\frac{v^2}{R}. Jeżeli ruch po okręgu jest jednostajny, możemy również zapisać: Fd=mω2R,F_d=m\omega^2R, Fd=4π2f2mR,F_d=4\pi^2f^2mR, Fd=4π2mRT2.F_d=\frac{4\pi^2mR}{T^2}. ### Warunki stosowania wzorów Wzór Fd=mv2RF_d=m\frac{v^2}{R} opisuje chwilową składową wypadkowej siły skierowaną do środka okręgu. Wzory z ω\omega, ff i TT w tej postaci odnoszą się do ruchu jednostajnego po okręgu. ### Kierunek wektorów Wektor prędkości v⃗\vec v jest styczny do toru, a składowa dośrodkowa wypadkowej siły jest skierowana promieniowo do środka okręgu: F⃗d⊥v⃗.\vec F_d\perp\vec v. Dlatego sama składowa dośrodkowa nie wykonuje pracy — zmienia kierunek prędkości, a nie jej wartość. Jeżeli szybkość ciała się zmienia, wypadkowa siła ma dodatkowo składową styczną.

2. Fizyczne źródła siły dośrodkowej w różnych układach

W zależności od sytuacji rolę dośrodkową może pełnić jedna siła rzeczywista albo odpowiednia składowa wypadkowej sił. ### Samochód lub rowerzysta na płaskim zakręcie Przy toczeniu bez poślizgu potrzebną siłę skierowaną do środka zakrętu zapewnia tarcie statyczne: Ts=mv2R.T_s=\frac{mv^2}{R}. Nie wolno od razu pisać Ts=μsmgT_s=\mu_smg. Ogólnie Ts≤μsmg,T_s\le\mu_smg, a równość zachodzi dopiero na granicy przyczepności. Stąd maksymalna prędkość bez poślizgu: vmax⁡=μsgR.v_{\max}=\sqrt{\mu_sgR}. W tym modelu masa pojazdu skraca się z równania. ### Ciało na nici Jeżeli ciało porusza się po okręgu w poziomej płaszczyźnie, a jedyną siłą mającą składową promieniową jest napięcie nici TT, to T=mv2R=mω2R.T=\frac{mv^2}{R}=m\omega^2R. W innych układach, np. w ruchu po okręgu w płaszczyźnie pionowej, napięcie nici nie musi być równe całej sile dośrodkowej, ponieważ składową promieniową ma również ciężar. ### Satelita na orbicie kołowej Dla orbity kołowej rolę siły dośrodkowej pełni siła grawitacji: GMmR2=mv2R,G\frac{Mm}{R^2}=\frac{mv^2}{R}, stąd v=GMR.v=\sqrt{\frac{GM}{R}}. ### Wahadło stożkowe Jeżeli nić tworzy z pionem kąt θ\theta, napięcie nici TT ma składową pionową równoważącą ciężar i składową poziomą zapewniającą ruch po okręgu: Tcos⁡θ=mg,T\cos\theta=mg, Tsin⁡θ=mv2R.T\sin\theta=\frac{mv^2}{R}. Po podzieleniu stronami: tan⁡θ=v2gR.\tan\theta=\frac{v^2}{gR}.

3. Pętla i ruch po okręgu w płaszczyźnie pionowej

W ruchu po okręgu w płaszczyźnie pionowej kierunek do środka zmienia się wraz z położeniem ciała. Dlatego najwygodniej w każdym punkcie zapisywać II zasadę dynamiki wzdłuż promienia, przyjmując zwrot **do środka okręgu** jako dodatni. ### Najniższy punkt toru W dole pętli środek okręgu znajduje się nad wózkiem. Siła reakcji toru FNF_N działa do góry, a ciężar mgmg w dół: FN−mg=mvdoˊł2R.F_N-mg=\frac{mv_{\mathrm{dół}}^2}{R}. Stąd FN=mg+mvdoˊł2R.F_N=mg+\frac{mv_{\mathrm{dół}}^2}{R}. Zatem FN>mgF_N>mg, więc pasażer odczuwa zwiększony nacisk na siedzenie. ### Najwyższy punkt toru Na szczycie pętli środek okręgu znajduje się pod wózkiem. Zarówno ciężar, jak i — dopóki wózek pozostaje w kontakcie z wewnętrzną stroną toru — siła reakcji toru są skierowane do środka: FN+mg=mvszczyt2R.F_N+mg=\frac{mv_{\mathrm{szczyt}}^2}{R}. Stąd FN=mvszczyt2R−mg.F_N=\frac{mv_{\mathrm{szczyt}}^2}{R}-mg. ### Warunek zachowania kontaktu Tor może jedynie naciskać na wózek, dlatego siła reakcji toru nie może mieć ujemnej wartości: FN≥0.F_N\ge 0. W najwyższym punkcie daje to mvszczyt2R≥mg,\frac{mv_{\mathrm{szczyt}}^2}{R}\ge mg, czyli vszczyt≥gR.v_{\mathrm{szczyt}}\ge\sqrt{gR}. Dla prędkości granicznej vszczyt=gRv_{\mathrm{szczyt}}=\sqrt{gR} mamy FN=0F_N=0 i całą wymaganą składową dośrodkową zapewnia ciężar. W idealnym modelu bez strat energii szczyt pętli jest punktem krytycznym dla utrzymania kontaktu.

4. Pułapki i najczęstsze błędy maturalne

### 1. Rysowanie „siły dośrodkowej” jako dodatkowej siły To najczęstszy błąd. Na diagramie sił rysujemy wyłącznie **rzeczywiste oddziaływania**, np. ciężar, siłę reakcji podłoża lub toru, tarcie albo napięcie nici. Dopiero w równaniu wskazujemy, która z tych sił albo jaka ich wypadkowa zapewnia składową dośrodkową. ### 2. Automatyczne podstawianie maksymalnego tarcia Na płaskim zakręcie podczas jazdy bez poślizgu: Ts=mv2R,T_s=\frac{mv^2}{R}, ale ogólnie Ts≤μsmg.T_s\le\mu_smg. Równość Ts=μsmgT_s=\mu_smg zachodzi dopiero na granicy przyczepności i prowadzi do vmax⁡=μsgR.v_{\max}=\sqrt{\mu_sgR}. ### 3. Mylenie siły dośrodkowej z siłą odśrodkową W inercjalnym układzie odniesienia składowa dośrodkowa wypadkowej sił jest skierowana **do środka okręgu**. Siła odśrodkowa bezwładności pojawia się dopiero w obracającym się, nieinercjalnym układzie odniesienia. ### 4. Błędne znaki w pętli pionowej Najpierw zaznacz kierunek do środka okręgu, a potem rzutuj na niego wszystkie rzeczywiste siły. Dla siły reakcji toru oznaczonej FNF_N w szczycie pętli: FN+mg=mv2R,F_N+mg=\frac{mv^2}{R}, a w dole: FN−mg=mv2R.F_N-mg=\frac{mv^2}{R}. ### 5. Używanie wzoru bez sprawdzenia warunków Wzór Fd=mv2RF_d=m\frac{v^2}{R} dotyczy składowej promieniowej w ruchu po okręgu. Wzory z ω\omega, ff i okresem TT w standardowej postaci należy stosować do ruchu jednostajnego po okręgu. Przy ruchu niejednostajnym trzeba pamiętać, że może występować również składowa styczna wypadkowej siły.