Ruch i siły · Zasady dynamiki Newtona

Zasady dynamiki Newtona — kompletne opracowanie teoretyczne

1. Pierwsza i druga zasada dynamiki Newtona

Dynamika opisuje związek między ruchem ciała a działającymi na nie siłami. W mechanice klasycznej podstawą opisu są trzy zasady dynamiki Newtona. ### Układy inercjalne Zasady dynamiki Newtona w swojej podstawowej postaci stosujemy w **inercjalnych układach odniesienia**. Układ inercjalny to taki, który nie przyspiesza względem innego układu inercjalnego — może spoczywać albo poruszać się względem niego ruchem prostoliniowym jednostajnym. ### Pierwsza zasada dynamiki Newtona Jeżeli wypadkowa sił działających na ciało jest równa zeru, ∑F⃗=0⃗,\sum \vec F=\vec 0, to przyspieszenie ciała jest równe zeru: a⃗=0⃗.\vec a=\vec 0. Oznacza to, że prędkość nie zmienia się: v⃗=const.\vec v=\text{const}. Spoczynek jest szczególnym przypadkiem tego warunku, gdy v⃗=0⃗\vec v=\vec 0. **Bezwładność** to właściwość ciała polegająca na zachowywaniu dotychczasowego stanu ruchu, jeżeli wypadkowa sił jest równa zeru. Miarą bezwładności w ruchu postępowym jest masa mm. ### Druga zasada dynamiki Newtona Dla ciała o stałej masie suma wszystkich sił zewnętrznych działających na ciało jest równa iloczynowi masy i przyspieszenia: ∑F⃗=ma⃗.\sum \vec F=m\vec a. W zapisie jednowymiarowym, po przyjęciu dodatniego zwrotu osi, zapisujemy: ∑F=ma.\sum F=ma. W dwóch kierunkach można rozpatrywać równania osobno: ∑Fx=max,∑Fy=may.\sum F_x=ma_x,\qquad \sum F_y=ma_y. Z równania wynika, że wektor przyspieszenia ma taki sam kierunek i zwrot jak wektor siły wypadkowej. Dla ustalonej masy większa siła wypadkowa daje większe przyspieszenie, a dla tej samej siły ciało o większej masie uzyskuje mniejsze przyspieszenie. Jednostką siły w układzie SI jest niuton: 1 N=1 kg⋅m/s2.1\,\text{N}=1\,\text{kg}\cdot\text{m/s}^2.

2. Trzecia zasada dynamiki Newtona (akcja i reakcja)

Oddziaływanie dwóch ciał jest wzajemne: jeżeli ciało AA działa na ciało BB, to jednocześnie ciało BB działa na ciało AA. ### Trzecia zasada dynamiki Newtona Jeżeli ciało AA działa na ciało BB siłą F⃗A→B\vec F_{A\to B}, to ciało BB działa na ciało AA siłą F⃗B→A\vec F_{B\to A}: F⃗A→B=−F⃗B→A.\vec F_{A\to B}=-\vec F_{B\to A}. Siły te mają: - jednakowe wartości, - ten sam kierunek, - przeciwne zwroty, - różne punkty przyłożenia, ponieważ działają na dwa różne ciała. ### Dlaczego te siły się nie równoważą? Równoważyć mogą się tylko siły działające na **to samo ciało**. Siły z III zasady dynamiki należą do jednej pary oddziaływania, ale każda z nich działa na inne ciało. Dlatego nie dodajemy ich do siebie w równaniu ruchu jednego ciała. ### Przykład: klocek na stole Stół działa na klocek skierowaną w górę siłą reakcji podłoża N⃗\vec N. Jednocześnie klocek działa na stół skierowaną w dół siłą nacisku F⃗nac\vec F_{\text{nac}}. Te dwie siły tworzą parę z III zasady dynamiki i mają równe wartości. Na sam klocek działają natomiast między innymi: - siła ciężkości mg⃗m\vec g skierowana w dół, - siła reakcji podłoża N⃗\vec N skierowana w górę. Jeżeli klocek spoczywa i nie ma przyspieszenia pionowego, to te dwie siły działające na **klocek** równoważą się: N=mg.N=mg.

3. Ruch układów połączonych ciał i dynamika windy

W zadaniach z kilkoma połączonymi ciałami warto najpierw zdecydować, czy analizujemy **cały układ**, czy jedno wybrane ciało. Dla całego układu uwzględniamy tylko siły zewnętrzne; siły naciągu między elementami układu są siłami wewnętrznymi i przy sumowaniu równań wzajemnie się redukują. ### Idealna nić i idealny bloczek W typowym modelu licealnym przyjmujemy, że nić jest nieważka i nierozciągliwa, a bloczek jest lekki i obraca się bez tarcia. Wtedy: - połączone ciała mają przyspieszenia o tej samej wartości, - wartość naciągu TT jest taka sama na obu końcach tej samej idealnej nici. ### Dwa ciała na gładkim poziomym podłożu Jeżeli dwa ciała o masach m1m_1 i m2m_2 są połączone idealną nicią, a na cały układ działa pozioma siła zewnętrzna FF, to dla całego układu: F=(m1+m2)a,F=(m_1+m_2)a, stąd a=Fm1+m2.a=\frac{F}{m_1+m_2}. Naciąg wyznaczamy dopiero z równania ruchu jednego z ciał. Jego wzór zależy od tego, **na które ciało i w którą stronę** działają pozostałe siły zewnętrzne. Nie istnieje jeden uniwersalny wzór na TT dla każdego układu dwóch klocków. Jeżeli na przykład siła FF działa na ciało m2m_2, a ciało m1m_1 jest w poziomie ciągnięte wyłącznie przez nić, to: T=m1a.T=m_1a. ### Wózek na stole i wiszący obciążnik Dla wózka o masie MM poruszającego się bez tarcia po stole oraz wiszącego obciążnika o masie mm, połączonych idealną nicią przez idealny bloczek, zapisujemy: T=Ma,T=Ma, mg−T=ma.mg-T=ma. Dodając równania stronami: mg=(M+m)a,mg=(M+m)a, więc a=mM+mg.a=\frac{m}{M+m}g. Następnie: T=Ma=MmM+mg.T=Ma=\frac{Mm}{M+m}g. Ponieważ wiszący obciążnik przyspiesza w dół, zachodzi mg−T=ma>0mg-T=ma>0, a więc T<mgT<mg.

3. Ruch układów połączonych ciał i dynamika windy

Dynamikę pasażera w windzie można wygodnie analizować w układzie odniesienia związanym z Ziemią. Na pasażera działają w pionie przede wszystkim dwie siły: siła ciężkości mgmg skierowana w dół oraz siła reakcji podłoża NN skierowana w górę. Wskazanie wagi odpowiada wartości siły nacisku pasażera na wagę. Z III zasady dynamiki jest ona co do wartości równa sile reakcji NN, którą waga działa na pasażera. ### Przyspieszenie skierowane w górę Przyjmując zwrot do góry jako dodatni: N−mg=ma,N-mg=ma, stąd N=m(g+a).N=m(g+a). Wtedy N>mgN>mg i mówimy o **przeciążeniu**. ### Przyspieszenie skierowane w dół Jeżeli aa oznacza wartość przyspieszenia skierowanego w dół, to: mg−N=ma,mg-N=ma, stąd N=m(g−a).N=m(g-a). Wtedy N<mgN<mg i mówimy o **niedociążeniu**. ### Nieważkość Podczas swobodnego spadania a=ga=g, więc: N=m(g−g)=0.N=m(g-g)=0. Waga nie wskazuje wtedy siły nacisku, mimo że siła ciężkości nadal działa na pasażera. O przeciążeniu i niedociążeniu decyduje **zwrot przyspieszenia**, a nie zwrot prędkości. Winda jadąca w dół i hamująca ma przyspieszenie skierowane w górę, więc pasażer znajduje się w stanie przeciążenia.

4. Pułapki i najczęstsze błędy maturalne

### Siły z III zasady dynamiki nie równoważą się wzajemnie Para sił z III zasady dynamiki działa na **dwa różne ciała**. Dlatego tych dwóch sił nie dodajemy w równaniu ruchu jednego ciała. Równoważyć mogą się tylko siły działające na to samo ciało. ### Do II zasady wpisujemy siłę wypadkową Równanie ∑F⃗=ma⃗\sum \vec F=m\vec a dotyczy sumy wszystkich sił zewnętrznych działających na analizowane ciało. Nie wolno utożsamiać jednej wybranej siły z ma⃗m\vec a, jeżeli działają także inne siły. ### Cały układ a pojedyncze ciało Dla całego układu połączonych ciał siły naciągu między jego elementami są siłami wewnętrznymi i przy sumowaniu równań się redukują. Przyspieszenie całego układu wyznaczamy więc z sił zewnętrznych i całkowitej masy. Naciąg TT obliczamy następnie z równania ruchu wybranego ciała. ### Równe naciągi wymagają modelu idealnego Taka sama wartość TT po obu stronach nici wynika z założenia nieważkiej nici i idealnego bloczka. Nie należy stosować tego automatycznie, gdy treść zadania każe uwzględnić masę nici, tarcie lub bezwładność bloczka. ### Naciąg i reakcja podłoża to różne wielkości Warto używać oznaczenia TT dla naciągu nici oraz NN dla siły normalnej. Pozwala to uniknąć pomylenia dwóch fizycznie różnych sił. ### Winda: ważne jest przyspieszenie, nie prędkość O przeciążeniu lub niedociążeniu decyduje zwrot przyspieszenia. Winda jadąca w dół i hamująca ma przyspieszenie skierowane w górę, dlatego N>mgN>mg. ### Nacisk, reakcja podłoża i siła ciężkości Siła ciężkości mg⃗m\vec g działa na ciało. Reakcja podłoża N⃗\vec N również działa na ciało. Natomiast siła nacisku ciała działa na podłoże. Nacisk i reakcja podłoża tworzą parę z III zasady dynamiki; siła ciężkości i reakcja podłoża mogą się natomiast równoważyć, jeśli działają na to samo ciało i jego przyspieszenie pionowe jest równe zeru.