Ruch krzywoliniowy · Prędkość w różnych układach odniesienia

Prędkość w różnych układach odniesienia — składanie prędkości

1. Układ odniesienia i względność ruchu

To, czy ciało jest w ruchu, zależy od wybranego **układu odniesienia**. To samo ciało może mieć różne prędkości względem różnych obserwatorów. Zamiast mówić o układzie „nieruchomym” i „ruchomym” w sensie bezwzględnym, wybieramy dwa układy: OO oraz O′O', przy czym O′O' porusza się względem OO. ### Oznaczenia Prędkość ciała AA względem układu OO zapisujemy jako v⃗A/O\vec v_{A/O}, a prędkość układu O′O' względem OO jako v⃗O′/O\vec v_{O'/O}. W fizyce klasycznej, dla prędkości dużo mniejszych od prędkości światła, obowiązuje zależność: v⃗A/O=v⃗A/O′+v⃗O′/O.\vec v_{A/O}=\vec v_{A/O'}+\vec v_{O'/O}. Najważniejsze jest zawsze ustalenie, **względem czego podana jest każda prędkość**.

2. Składanie prędkości i prędkość względna

Jeżeli cały ruch odbywa się wzdłuż jednej osi xx, wygodnie posługiwać się współrzędnymi prędkości ze znakami: vA/O,x=vA/O′,x+vO′/O,x.v_{A/O,x}=v_{A/O',x}+v_{O'/O,x}. Dodatni lub ujemny znak informuje o zwrocie ruchu względem przyjętej osi. ### Prędkość względna dwóch ciał Prędkość ciała 1 względem ciała 2 wynosi: v⃗1/2=v⃗1−v⃗2.\vec v_{1/2}=\vec v_1-\vec v_2. Dla ruchu po jednej prostej: * gdy ciała jadą w tę samą stronę, wartość szybkości względnej wynosi vwzgl=∣v1−v2∣,v_{\mathrm{wzgl}}=|v_1-v_2|, * gdy poruszają się naprzeciw siebie, vwzgl=v1+v2.v_{\mathrm{wzgl}}=v_1+v_2. ### Wyprzedzanie i wymijanie Jeżeli dwa obiekty o długościach L1L_1 i L2L_2 mają stałe prędkości, to przy pełnym wyprzedzaniu lub wymijaniu droga do pokonania w ruchu względnym jest równa L1+L2L_1+L_2. Jeżeli jeden obiekt traktujemy jako punkt materialny, odpowiednia droga względna może być równa tylko długości drugiego obiektu. Zawsze trzeba odczytać z treści, między jakimi momentami trwa manewr.

3. Składanie prędkości na płaszczyźnie

Gdy prędkości nie leżą na jednej prostej, trzeba dodawać lub odejmować **wektory**, a nie ich wartości. Jeżeli v⃗1=(v1x,v1y),v⃗2=(v2x,v2y),\vec v_1=(v_{1x},v_{1y}),\qquad \vec v_2=(v_{2x},v_{2y}), to prędkość ciała 1 względem ciała 2 ma składowe: v⃗1/2=(v1x−v2x,  v1y−v2y).\vec v_{1/2}=(v_{1x}-v_{2x},\;v_{1y}-v_{2y}). Jej wartość wynosi: v1/2=v1/2,x2+v1/2,y2.v_{1/2}=\sqrt{v_{1/2,x}^2+v_{1/2,y}^2}. Kierunek wyznaczamy z geometrii wektora i zależności trygonometrycznych. ### Przeprawa przez rzekę — dziób prostopadle do brzegu Jeżeli łódź ma szybkość v′v' względem wody, nurt ma szybkość uu, a oba wektory są prostopadłe, to: v=(v′)2+u2.v=\sqrt{(v')^2+u^2}. Czas pokonania szerokości rzeki dd wynosi: t=dv′,t=\frac{d}{v'}, a zniesienie z prądem: s=ut.s=ut. ### Przeprawa dokładnie na wprost Aby prędkość względem brzegu była prostopadła do brzegów, łódź musi skierować dziób pod prąd. Jeżeli α\alpha jest kątem odchylenia od kierunku prostopadłego do brzegu, to: sin⁡α=uv′.\sin\alpha=\frac{u}{v'}. Warunek wykonalności: v′>uv'>u. Wtedy szybkość względem brzegu wynosi: v=(v′)2−u2.v=\sqrt{(v')^2-u^2}. ### Deszcz i poruszający się samochód Jeżeli w układzie Ziemi deszcz pada pionowo z szybkością vdv_d, a samochód jedzie poziomo z szybkością vsv_s, to: v⃗d/s=v⃗d−v⃗s.\vec v_{d/s}=\vec v_d-\vec v_s. Dla kąta θ\theta liczonego od pionu: tan⁡θ=vsvd.\tan\theta=\frac{v_s}{v_d}.

4. Ruch względny przy zmiennych prędkościach

Jeżeli prędkości ciał zmieniają się w czasie, nadal można analizować ich ruch względny. Dla ruchu wzdłuż jednej osi: v1/2,x=v1x−v2x,v_{1/2,x}=v_{1x}-v_{2x}, a1/2,x=a1x−a2x.a_{1/2,x}=a_{1x}-a_{2x}. Jeżeli przyspieszenia są stałe, względne położenie zmienia się zgodnie z równaniem: Δx1/2(t)=Δx1/2,0+v1/2,0t+12a1/2t2.\Delta x_{1/2}(t)=\Delta x_{1/2,0}+v_{1/2,0}t+\frac12 a_{1/2}t^2. To pozwala rozwiązywać zadania o doganianiu lub wyprzedzaniu także wtedy, gdy oba pojazdy przyspieszają.

5. Pułapki i najczęstsze błędy

### Zawsze zapisuj, względem czego podano prędkość Prędkość łodzi względem wody i prędkość łodzi względem brzegu to różne wielkości. ### Nie dodawaj wartości prędkości, gdy wektory nie są współliniowe Dla wektorów prostopadłych nie wolno pisać v=v′+uv=v'+u. Trzeba zastosować dodawanie wektorowe. ### Uważaj na znaki w ruchu jednowymiarowym Najbezpieczniej najpierw wybrać dodatni zwrot osi i zapisać współrzędne prędkości ze znakami. ### Ruch względny to odejmowanie wektorów v⃗1/2=v⃗1−v⃗2.\vec v_{1/2}=\vec v_1-\vec v_2. Dopiero po tym wyznaczamy wartość szybkości względnej. ### Nie myl drogi względnej z długością jednego pojazdu Przy pełnym mijaniu dwóch pojazdów o długościach L1L_1 i L2L_2 droga względna wynosi zwykle L1+L2L_1+L_2. Jeżeli jeden obiekt jest punktem materialnym, może być równa tylko długości drugiego obiektu. ### W przeprawie przez rzekę rozróżniaj dwa cele Najkrótszy czas przeprawy i dotarcie dokładnie naprzeciwko startu to dwa różne warunki. ### Schemat rozwiązania Krok 1: Wybierz układ odniesienia i dodatni zwrot osi. Krok 2: Zapisz, względem czego określona jest każda prędkość. Krok 3: Zapisz zależność wektorową lub równania składowych. Krok 4: Dopiero potem podstaw wartości liczbowe i sprawdź zwrot oraz jednostki.