Ruch krzywoliniowy · Przyspieszenie dośrodkowe

Przyspieszenie dośrodkowe — kompletne opracowanie teoretyczne

1. Istota fizyczna przyspieszenia dośrodkowego

W ruchu po okręgu wektor prędkości v⃗\vec v jest w każdej chwili styczny do toru. Dlatego nawet w **ruchu jednostajnym po okręgu**, gdy wartość prędkości vv jest stała, kierunek v⃗\vec v ciągle się zmienia. Zmiana wektora prędkości oznacza, że ciało ma przyspieszenie. ### Kierunek i zwrot przyspieszenia dośrodkowego Przyspieszenie dośrodkowe, nazywane też przyspieszeniem normalnym, oznaczamy a⃗d\vec a_d lub a⃗n\vec a_n. Jest ono skierowane wzdłuż promienia **do środka okręgu** i jest prostopadłe do chwilowego wektora prędkości: a⃗d⊥v⃗.\vec a_d\perp\vec v. W ruchu jednostajnym po okręgu całe przyspieszenie jest przyspieszeniem dośrodkowym. Jeżeli wartość prędkości również się zmienia, oprócz składowej dośrodkowej może występować także składowa styczna przyspieszenia. ### Skąd bierze się wzór ad=v2Ra_d=\frac{v^2}{R}? Rozważmy dwa bardzo bliskie położenia ciała na okręgu. W krótkim czasie Δt\Delta t promień wodzący obraca się o mały kąt Δφ\Delta\varphi. O taki sam kąt zmienia się kierunek wektora prędkości. Dla małego kąta trójkąt utworzony przez dwa promienie i trójkąt utworzony przez dwa wektory prędkości są podobne. Możemy więc zapisać w przybliżeniu: ∣Δv⃗∣v≈ΔsR,\frac{|\Delta\vec v|}{v}\approx\frac{\Delta s}{R}, gdzie Δs\Delta s jest krótkim odcinkiem drogi przebytej po okręgu. Ponieważ dla bardzo krótkiego czasu: Δs≈vΔt,\Delta s\approx v\Delta t, to: ∣Δv⃗∣v≈vΔtR.\frac{|\Delta\vec v|}{v}\approx\frac{v\Delta t}{R}. Po przekształceniu: ∣Δv⃗∣Δt≈v2R.\frac{|\Delta\vec v|}{\Delta t}\approx\frac{v^2}{R}. Dla coraz krótszych przedziałów czasu lewa strona odpowiada wartości chwilowego przyspieszenia, dlatego: ad=v2R.\boxed{a_d=\frac{v^2}{R}}. Jednostką przyspieszenia dośrodkowego jest m/s2\text{m/s}^2.

2. Postaci wzoru i zależność od promienia

Podstawowy wzór na wartość przyspieszenia dośrodkowego ma postać: ad=v2R.a_d=\frac{v^2}{R}. Korzystając z zależności v=ωRv=\omega R, otrzymujemy: ad=(ωR)2R=ω2R.a_d=\frac{(\omega R)^2}{R}=\omega^2R. W ruchu jednostajnym po okręgu zachodzi również: ω=2πf=2πT.\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}. Dlatego możemy zapisać cztery równoważne postaci: ad=v2R,a_d=\frac{v^2}{R}, ad=ω2R,a_d=\omega^2R, ad=4π2f2R,a_d=4\pi^2f^2R, ad=4π2RT2.a_d=\frac{4\pi^2R}{T^2}. Dobieramy tę postać, która wykorzystuje wielkości podane w zadaniu. ### Jak przyspieszenie dośrodkowe zależy od promienia? Nie wolno odpowiadać na to pytanie bez podania, która wielkość pozostaje stała. Jeżeli stała jest **prędkość liniowa vv**, to: ad=v2R,a_d=\frac{v^2}{R}, czyli: ad∝1R.a_d\propto\frac{1}{R}. Przy tej samej prędkości liniowej ciaśniejszy zakręt oznacza większe przyspieszenie dośrodkowe. Jeżeli stała jest **prędkość kątowa ω\omega**, to: ad=ω2R,a_d=\omega^2R, czyli: ad∝R.a_d\propto R. Na przykład na sztywnej tarczy wszystkie punkty mają tę samą ω\omega, ale punkt położony dalej od osi ma większe przyspieszenie dośrodkowe. W ruchu jednostajnym po okręgu stały okres TT oznacza także stałą prędkość kątową, ponieważ ω=2πT\omega=\frac{2\pi}{T}.

3. Przyspieszenie dośrodkowe w przyrodzie i technice

Przyspieszenie dośrodkowe pojawia się zawsze wtedy, gdy tor ruchu jest zakrzywiony. Poniższe przykłady pokazują, jak interpretować je fizycznie. ### Obrót Ziemi — punkt na równiku W przybliżeniu możemy przyjąć okres obrotu Ziemi: TZ=24 h=86400 s,T_Z=24\,\text{h}=86400\,\text{s}, oraz promień na równiku: RZ≈6,37⋅106 m.R_Z\approx6{,}37\cdot10^6\,\text{m}. Dla punktu leżącego na równiku: ad=4π2RZTZ2.a_d=\frac{4\pi^2R_Z}{T_Z^2}. Po podstawieniu: ad≈0,034 m/s2.a_d\approx0{,}034\,\text{m/s}^2. Przyspieszenie jest skierowane ku osi obrotu Ziemi. Obrót Ziemi sprawia, że na równiku odczyt ciężaru pozornego na wadze jest nieco mniejszy, niż byłby dla nieruchomej Ziemi. Nie oznacza to, że znika część siły grawitacji — chodzi o wpływ ruchu obrotowego na siłę, którą ciało naciska na podłoże. ### Samochód lub rower na zakręcie Jeżeli pojazd porusza się po łuku o promieniu RR z prędkością vv, potrzebne jest przyspieszenie skierowane do środka zakrętu: ad=v2R.a_d=\frac{v^2}{R}. Jeżeli prędkość wzrośnie dwukrotnie: ad′=(2v)2R=4ad.a_d'=\frac{(2v)^2}{R}=4a_d. Na poziomej drodze przyspieszenie dośrodkowe pojazdu zapewnia przede wszystkim siła tarcia statycznego między oponami a jezdnią. Jeżeli dostępna siła tarcia jest za mała, pojazd nie może utrzymać wymaganego toru kołowego i zaczyna poruszać się po torze o większym promieniu, zbliżonym chwilowo do kierunku stycznej.

4. Pułapki i najczęstsze błędy maturalne

### Stała wartość prędkości nie oznacza zerowego przyspieszenia W ruchu jednostajnym po okręgu wartość prędkości vv jest stała, ale jej kierunek ciągle się zmienia. Dlatego dla v≠0v\neq0: ad=v2R>0.a_d=\frac{v^2}{R}>0. ### Nie wyciągaj wniosków o wpływie RR bez sprawdzenia, co jest stałe Dla stałej prędkości liniowej: ad∝1R.a_d\propto\frac{1}{R}. Dla stałej prędkości kątowej: ad∝R.a_d\propto R. To dwie różne sytuacje fizyczne. ### Wektor a⃗d\vec a_d jest skierowany do środka W inercjalnym układzie odniesienia przyspieszenie dośrodkowe nie jest skierowane na zewnątrz. Wektor a⃗d\vec a_d ma zawsze zwrot ku środkowi krzywizny toru. ### Przyspieszenie dośrodkowe nie jest dodatkową siłą Określenie „dośrodkowe” opisuje kierunek wypadkowej siły potrzebnej do zakrzywienia toru. W zależności od sytuacji rolę tę może pełnić np. tarcie, napięcie nici, siła grawitacji albo wypadkowa kilku rzeczywistych sił. Nie należy dorysowywać osobnej „siły dośrodkowej” obok wszystkich rzeczywistych sił. ### Pamiętaj o jednostkach SI Przed podstawieniem do wzorów należy zamienić m.in. kilometry na metry, godziny na sekundy oraz km/h\text{km/h} na m/s\text{m/s}. Wynik przyspieszenia podajemy w m/s2\text{m/s}^2. ### Nie myl prędkości z przyspieszeniem Wektor v⃗\vec v jest styczny do okręgu, natomiast a⃗d\vec a_d jest skierowany promieniowo do środka. W ruchu jednostajnym po okręgu są one do siebie prostopadłe.