Ruch po okręgu — kompletne opracowanie teoretyczne

1. Opis ruchu po okręgu: kąt, okres, częstotliwość i prędkość kątowa

Ruch po okręgu to ruch, w którym tor ciała jest okręgiem o promieniu

r

. W ruchu jednostajnym po okręgu wartość prędkości liniowej jest stała, ale jej kierunek cały czas się zmienia. ### Kąt obrotu i długość łuku Gdy ciało przebywa po okręgu łuk o długości

s

, promień wodzący zakreśla kąt

\Delta\varphi

. Jeżeli kąt wyrażamy w radianach, zachodzi zależność:

s=r\Delta\varphi,

a więc:

\Delta\varphi=\frac{s}{r}.

Pełnemu obrotowi odpowiada:

360^\circ=2\pi\,\text{rad}.

### Okres i częstotliwość **Okres

T

** to czas jednego pełnego obiegu. Jeżeli w czasie

\Delta t

ciało wykonuje

N

pełnych obiegów, to:

T=\frac{\Delta t}{N}.

**Częstotliwość

f

** to liczba pełnych obiegów wykonanych w jednostce czasu:

f=\frac{N}{\Delta t}=\frac{1}{T}.

Jednostką częstotliwości jest herc:

1\,\text{Hz}=1\,\text{s}^{-1}.

Jeżeli podano liczbę obrotów na minutę

n_{\text{rpm}}

, najpierw zamieniamy ją na obroty na sekundę:

f=\frac{n_{\text{rpm}}}{60}.

### Prędkość kątowa W ruchu jednostajnym po okręgu prędkość kątowa

\omega

określa, jaki kąt zakreśla promień wodzący w jednostce czasu:

\omega=\frac{\Delta\varphi}{\Delta t}.

Dla jednego pełnego obrotu

\Delta\varphi=2\pi

, a

\Delta t=T

, dlatego:

\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f.

Jednostką prędkości kątowej jest

\text{rad/s}

.

2. Prędkość liniowa, prędkość kątowa i przekładnie

Punkt poruszający się po okręgu ma prędkość liniową styczną do toru. W ruchu jednostajnym po okręgu jej wartość jest stała. ### Związek między

v

i

\omega

W czasie jednego okresu ciało przebywa drogę równą obwodowi okręgu:

s=2\pi r.

Dlatego:

v=\frac{2\pi r}{T}=2\pi fr=\omega r.

Wzór

v=\omega r

pokazuje, że przy tej samej prędkości kątowej punkt znajdujący się dalej od osi porusza się z większą prędkością liniową. ### Sztywna tarcza Wszystkie punkty sztywnej tarczy wykonują pełny obrót w tym samym czasie. Mają więc ten sam okres

T

, tę samą częstotliwość

f

i tę samą prędkość kątową

\omega

. Nie mają jednak tej samej prędkości liniowej. Ponieważ:

v=\omega r,

prędkość liniowa rośnie wraz z odległością od osi obrotu. ### Lina nawijana na bęben Jeżeli lina nawija się na bęben bez poślizgu, szybkość przesuwania liny jest równa szybkości punktów na obwodzie bębna:

v=\omega r.

Jeżeli w czasie

t

nawinięto odcinek liny długości

l

, to:

v=\frac{l}{t},

a następnie:

\omega=\frac{v}{r}.

Pamiętaj, że jeśli podano średnicę

d

, to:

r=\frac{d}{2}.

### Przekładnia pasowa i łańcuchowa Jeżeli pas lub łańcuch nie ślizga się po kołach, wartości prędkości liniowych na ich obwodach są równe:

v_1=v_2.

Stąd:

\omega_1r_1=\omega_2r_2,

a także:

f_1r_1=f_2r_2.

Dla kół zębatych połączonych łańcuchem, gdy liczba zębów wynosi odpowiednio

z_1

i

z_2

:

f_1z_1=f_2z_2,

czyli:

\frac{f_2}{f_1}=\frac{z_1}{z_2}.

Mniejsze koło wykonuje więcej obrotów w tym samym czasie niż większe. W przypadku dwóch kół zębatych zazębiających się bezpośrednio wartości prędkości stycznych w punkcie styku są równe, ale koła obracają się w przeciwnych kierunkach.

3. Jak rozwiązywać typowe zadania z ruchu po okręgu

Zadania z tego tematu najczęściej sprowadzają się do poprawnego rozpoznania danych i połączenia kilku podstawowych zależności. ### Gdy podano liczbę obrotów na minutę Najpierw zamień obroty na minutę na częstotliwość w hercach:

f=\frac{n_{\text{rpm}}}{60}.

Następnie możesz obliczyć okres:

T=\frac{1}{f},

lub prędkość kątową:

\omega=2\pi f.

### Gdy podano prędkość kątową Korzystaj z:

\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}.

Stąd:

f=\frac{\omega}{2\pi},

T=\frac{2\pi}{\omega}.

### Gdy pytają o kąt obrotu W ruchu jednostajnym po okręgu:

\Delta\varphi=\omega\Delta t.

Jeżeli chcesz obliczyć długość przebytego łuku:

s=r\Delta\varphi.

### Gdy znasz promień i okres lub częstotliwość Wartość prędkości liniowej wyznaczysz ze wzoru:

v=\frac{2\pi r}{T}=2\pi fr=\omega r.

### Gdy lina nawija się na bęben Najpierw oblicz promień z podanej średnicy:

r=\frac{d}{2}.

Potem wyznacz szybkość przesuwania liny:

v=\frac{l}{t},

a na końcu:

\omega=\frac{v}{r}.

### Gdy masz przekładnię Dla pasa lub łańcucha bez poślizgu zacznij od warunku:

v_1=v_2.

Dla kół o promieniach

r_1

i

r_2

:

f_1r_1=f_2r_2.

Dla kół zębatych połączonych łańcuchem wygodnie użyć liczby zębów:

f_1z_1=f_2z_2.

4. Pułapki i najczęstsze błędy

Na podstawie zadań z działu 3.4 szczególnie warto uważać na kilka powtarzających się błędów. ### 1. Obroty na minutę to nie herce Jeżeli

n_{\text{rpm}}

oznacza liczbę obrotów na minutę, to najpierw trzeba przeliczyć ją na liczbę obrotów na sekundę:

f=\frac{n_{\text{rpm}}}{60}.

Dopiero potem stosujemy zależności:

\omega=2\pi f,

T=\frac{1}{f}.

### 2. Nie myl promienia ze średnicą Jeżeli w zadaniu podano średnicę

d

, we wzorze

v=\omega r

należy użyć promienia:

r=\frac{d}{2}.

To szczególnie ważne w zadaniach z bębnem, kołem lub nawijaniem liny. ### 3. Ta sama prędkość kątowa nie oznacza tej samej prędkości liniowej Dla sztywnej tarczy wszystkie jej punkty mają tę samą prędkość kątową

\omega

, ale:

v=\omega r.

Punkt położony dalej od osi ma większą wartość prędkości liniowej. ### 4. Pełny obrót to

2\pi

rad We wzorach z prędkością kątową kąt zapisujemy w radianach:

360^\circ=2\pi\,\text{rad}.

Nie wolno podstawiać liczby

360

bezpośrednio do wzoru

\omega=\frac{\Delta\varphi}{\Delta t}

, jeśli

\omega

ma być wyrażone w

\text{rad/s}

. ### 5. Równość prędkości liniowych w przekładni wymaga braku poślizgu Dla pasa lub łańcucha poruszającego się bez poślizgu:

v_1=v_2.

Nie oznacza to jednak na ogół, że

f_1=f_2

. Jeżeli promienie kół są różne, to:

f_1r_1=f_2r_2.

Dla zębatek połączonych łańcuchem można użyć również:

f_1z_1=f_2z_2.

### 6. Wektor prędkości jest styczny do okręgu W ruchu jednostajnym po okręgu wartość prędkości może być stała, ale jej kierunek zmienia się w każdej chwili. Wektor

\vec v

jest zawsze styczny do toru w aktualnym położeniu ciała.