Ruch krzywoliniowy · Rzut poziomy i ukośny

Rzut poziomy i ukośny — opis ruchu

1. Zasada niezależności ruchów

Analizując rzut poziomy i ukośny, pomijamy opór powietrza i przyjmujemy jednorodne pole grawitacyjne. Oś xx wybieramy poziomo w prawo, a oś yy pionowo w górę. Symbol g>0g>0 oznacza wartość przyspieszenia ziemskiego, dlatego ax=0,ay=−g.a_x=0,\qquad a_y=-g. ### Niezależność ruchów Ruch w obu kierunkach można analizować osobno. W poziomie ciało porusza się ruchem jednostajnym: vx=v0x=const.v_x=v_{0x}=\text{const}. W pionie jest to ruch jednostajnie zmienny: vy=v0y−gt.v_y=v_{0y}-gt. Wektor prędkości jest sumą składowych v⃗x\vec v_x i v⃗y\vec v_y, a jego wartość wynosi v=vx2+vy2.v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}. Jeśli potrzebna jest tylko wartość kąta nachylenia wektora prędkości do poziomu, można użyć tan⁡∣θ∣=∣vy∣∣vx∣.\tan|\theta|=\frac{|v_y|}{|v_x|}. Kierunek ruchu ustalamy ze znaków składowych vxv_x i vyv_y. W obliczeniach należy stosować wartość gg podaną w zadaniu. Gdy dopuszczone jest przybliżenie, często przyjmuje się g≈10 m/s2g\approx10\,\text{m/s}^2.

2. Rzut poziomy

Rzut poziomy otrzymujemy, gdy ciało na wysokości hh otrzymuje prędkość początkową skierowaną poziomo. Przyjmujemy x0=0x_0=0, y0=hy_0=h oraz v0x=v0,v0y=0.v_{0x}=v_0,\qquad v_{0y}=0. ### Równania ruchu Dla osi yy skierowanej pionowo w górę: x(t)=v0t,x(t)=v_0t, y(t)=h−12gt2,y(t)=h-\frac12gt^2, vx(t)=v0,vy(t)=−gt.v_x(t)=v_0,\qquad v_y(t)=-gt. Składowa pozioma prędkości jest stała, natomiast wartość pionowej składowej rośnie podczas spadania. ### Tor ruchu Z równania x=v0tx=v_0t mamy t=xv0t=\frac{x}{v_0}. Po podstawieniu do równania pionowego: y(x)=h−g2v02x2.y(x)=h-\frac{g}{2v_0^2}x^2. Tor rzutu poziomego jest więc fragmentem paraboli. ### Czas lotu i zasięg Jeżeli ciało ląduje na poziomie y=0y=0, to tl=2hg.t_l=\sqrt{\frac{2h}{g}}. Zasięg poziomy wynosi Z=v0tl=v02hg.Z=v_0t_l=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}. W tych warunkach czas lotu zależy od hh i gg, ale nie od wartości v0v_0. ### Prędkość przy uderzeniu Tuż przed uderzeniem w podłoże: vk=vx2+vy2=v02+2gh.v_k=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{v_0^2+2gh}. Wzory te zakładają pominięcie oporu powietrza i jednorodne pole grawitacyjne.

3. Rzut ukośny

Rzut ukośny otrzymujemy, gdy ciało otrzymuje prędkość początkową v⃗0\vec v_0 skierowaną pod kątem α\alpha do poziomu. Jej składowe wynoszą v0x=v0cos⁡α,v0y=v0sin⁡α.v_{0x}=v_0\cos\alpha,\qquad v_{0y}=v_0\sin\alpha. ### Równania ruchu Dla punktu wyrzutu przyjętego jako x0=0x_0=0, y0=0y_0=0: x(t)=v0cos⁡α t,x(t)=v_0\cos\alpha\,t, y(t)=v0sin⁡α t−12gt2,y(t)=v_0\sin\alpha\,t-\frac12gt^2, vx(t)=v0cos⁡α,vy(t)=v0sin⁡α−gt.v_x(t)=v_0\cos\alpha,\qquad v_y(t)=v_0\sin\alpha-gt. ### Tor ruchu Po wyeliminowaniu czasu otrzymujemy y(x)=xtan⁡α−g2v02cos⁡2αx2.y(x)=x\tan\alpha-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2. Tor ruchu jest fragmentem paraboli. ### Najwyższy punkt W najwyższym punkcie toru vy=0,v_y=0, ale składowa pozioma pozostaje niezerowa: vx=v0cos⁡αv_x=v_0\cos\alpha. Czas wznoszenia i maksymalna wysokość względem poziomu wyrzutu wynoszą tw=v0sin⁡αg,t_w=\frac{v_0\sin\alpha}{g}, Hmax⁡=v02sin⁡2α2g.H_{\max}=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}. ### Start i lądowanie na tej samej wysokości Tylko w przypadku, gdy ciało ląduje na tej samej wysokości, z której zostało wyrzucone, otrzymujemy tl=2v0sin⁡αg,t_l=\frac{2v_0\sin\alpha}{g}, Z=v02sin⁡(2α)g.Z=\frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}. Przy ustalonym v0v_0 największy zasięg w tych warunkach występuje dla α=45∘\alpha=45^\circ. Jeśli wysokość końcowa różni się od początkowej, czasu lotu i zasięgu nie wyznaczamy z powyższych dwóch wzorów. Najpierw rozwiązujemy odpowiednie równanie y(t)y(t), a następnie obliczamy x(t)x(t).

4. Pułapki i najczęstsze błędy maturalne

### Najwyższy punkt rzutu ukośnego W najwyższym punkcie vy=0v_y=0, ale nie oznacza to, że całkowita prędkość jest równa zeru. Bez oporu powietrza nadal vx=v0cos⁡α.v_x=v_0\cos\alpha. ### Przyspieszenie w najwyższym punkcie Przyspieszenie nie znika w szczycie toru. Przez cały lot a⃗=g⃗\vec a=\vec g i jest skierowane pionowo w dół. ### Czas lotu rzutu poziomego W standardowym modelu bez oporu powietrza czas lotu rzutu poziomego z wysokości hh nie zależy od prędkości początkowej v0v_0. Zwiększenie v0v_0 zwiększa zasięg, a nie czas spadania. ### Wzory dla rzutu ukośnego Wzorów tl=2v0sin⁡αg,Z=v02sin⁡(2α)gt_l=\frac{2v_0\sin\alpha}{g},\qquad Z=\frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g} nie wolno stosować bez sprawdzenia wysokości początkowej i końcowej. Obowiązują, gdy start i lądowanie następują na tej samej wysokości. Wartość gg należy przyjmować zgodnie z treścią zadania. Przybliżenie g≈10 m/s2g\approx10\,\text{m/s}^2 stosujemy tylko wtedy, gdy jest dozwolone.