Ruch prostoliniowy · Opis położenia ciała

Opis położenia ciała i wektory w ruchu prostoliniowym

1. Układ odniesienia i punkt materialny

### Układ odniesienia Aby opisać położenie i ruch ciała, trzeba najpierw wskazać, względem czego ten ruch rozpatrujemy. **Układ odniesienia** to ciało lub układ ciał, względem których określamy położenie innych ciał. Do ilościowego opisu ruchu z układem odniesienia wiążemy **układ współrzędnych** oraz zegar. W ruchu prostoliniowym wystarcza jedna oś, np. oś xx, z wybranym punktem x=0x=0 i zwrotem dodatnim. To samo ciało może być w spoczynku względem jednego układu odniesienia i jednocześnie poruszać się względem innego — dlatego mówimy, że **ruch jest względny**. ### Punkt materialny **Punkt materialny** to model ciała, w którym pomijamy jego rozmiary i kształt, ale zachowujemy jego masę. Można go stosować wtedy, gdy rozmiary ciała nie mają znaczenia dla rozwiązania danego problemu. Przykładowo samochód jadący z Warszawy do Krakowa można traktować jak punkt materialny przy opisie jego trasy. Nie można natomiast pominąć rozmiarów samochodu, gdy analizujemy, czy zmieści się on na miejscu parkingowym. ### Co trzeba ustalić przed opisem położenia? W zadaniu zawsze sprawdź: - gdzie znajduje się początek osi, - jaki jest dodatni zwrot osi, - w jakich jednostkach podawane są współrzędne.

2. Położenie, przemieszczenie i droga

### Współrzędna położenia W ruchu prostoliniowym położenie ciała opisujemy współrzędną xx. Jej znak zależy od tego, po której stronie początku osi znajduje się ciało: - x>0x>0 — po stronie dodatniego zwrotu osi, - x<0x<0 — po przeciwnej stronie, - x=0x=0 — w początku osi. Wektor położenia r⃗\vec r jest skierowany od początku układu współrzędnych do punktu, w którym znajduje się ciało. W ruchu jednowymiarowym jego współrzędna jest równa współrzędnej położenia: rx=xr_x=x Długość wektora położenia jest zawsze nieujemna: r=∣x∣r=|x| ### Przemieszczenie Jeżeli ciało przemieściło się z położenia x1x_1 do położenia x2x_2, to: Δr⃗=r⃗2−r⃗1\Delta \vec r=\vec r_2-\vec r_1 Na osi xx wystarcza jedna współrzędna: Δx=x2−x1\Delta x=x_2-x_1 Znak Δx\Delta x informuje o zwrocie przemieszczenia. Długość wektora przemieszczenia wynosi: ∣Δx∣|\Delta x| ### Odległość między dwoma punktami Odległość punktów o współrzędnych xAx_A i xBx_B jest skalarem i wynosi: d=∣xB−xA∣d=|x_B-x_A| Nie zależy więc od tego, który z punktów wpiszemy jako pierwszy. ### Droga a przemieszczenie **Droga ss** jest długością rzeczywiście przebytego toru i zawsze spełnia s≥0s\ge 0. **Przemieszczenie** zależy tylko od położenia początkowego i końcowego. Jeśli ciało porusza się po prostej bez zmiany zwrotu, to: s=∣Δx∣s=|\Delta x| Jeżeli ciało zmienia zwrot ruchu, droga jest sumą przebytych odcinków i może być większa od wartości przemieszczenia.

3. Działania na wektorach na jednej osi

### Wektor na osi W ruchu jednowymiarowym wektor można opisać jedną współrzędną ze znakiem. Znak dodatni oznacza zwrot zgodny z dodatnim zwrotem osi, a znak ujemny — zwrot przeciwny. Długość wektora jest zawsze nieujemna: a=∣ax∣a=|a_x| ### Dodawanie wektorów Współrzędna sumy wektorów jest sumą ich współrzędnych: cx=ax+bxc_x=a_x+b_x Graficznie można stosować metodę „początek do końca”: początek drugiego wektora umieszczamy na końcu pierwszego. Wektor sumy łączy początek pierwszego wektora z końcem ostatniego. Dodawanie wektorów jest przemienne: a⃗+b⃗=b⃗+a⃗\vec a+\vec b=\vec b+\vec a ### Wektor przeciwny Wektor −b⃗-\vec b ma taką samą długość i kierunek jak b⃗\vec b, ale przeciwny zwrot. Na osi: (−b)x=−bx(-b)_x=-b_x ### Odejmowanie wektorów Odejmowanie sprowadzamy do dodawania wektora przeciwnego: a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b) Dla współrzędnych: dx=ax−bxd_x=a_x-b_x Odejmowanie nie jest przemienne. W ogólności: a⃗−b⃗≠b⃗−a⃗\vec a-\vec b\neq\vec b-\vec a bo: b⃗−a⃗=−(a⃗−b⃗)\vec b-\vec a=-(\vec a-\vec b) ### Przykład Jeżeli ax=4 cma_x=4\,\text{cm} i bx=8 cmb_x=8\,\text{cm}, to: ax+bx=12 cma_x+b_x=12\,\text{cm} ax−bx=−4 cma_x-b_x=-4\,\text{cm} bx−ax=4 cmb_x-a_x=4\,\text{cm} Dwa ostatnie wektory mają tę samą długość 4 cm4\,\text{cm}, ale przeciwne zwroty.

4. Najważniejsze pułapki

### Długość wektora a jego współrzędna Współrzędna wektora może być ujemna, ale jego długość nie: a=∣ax∣≥0a=|a_x|\ge 0 Jeżeli ax=−4 cma_x=-4\,\text{cm}, to długość wektora wynosi a=4 cma=4\,\text{cm}. ### Położenie a odległość od początku osi Współrzędna położenia xx może być dodatnia, ujemna albo równa zeru. Odległość ciała od początku osi jest natomiast skalarem: d0=∣x∣d_0=|x| Nie należy utożsamiać tych dwóch wielkości. ### Droga a przemieszczenie Różnica współrzędnych daje przemieszczenie: Δx=x2−x1\Delta x=x_2-x_1 a nie zawsze drogę. Gdy ciało zmienia zwrot ruchu, drogę trzeba wyznaczyć jako sumę długości kolejnych odcinków. ### Kolejność przy odejmowaniu a⃗−b⃗≠b⃗−a⃗\vec a-\vec b\neq\vec b-\vec a W rzeczywistości: b⃗−a⃗=−(a⃗−b⃗)\vec b-\vec a=-(\vec a-\vec b) Wektory te mają więc jednakowe długości, ale przeciwne zwroty. ### Wybór osi ma znaczenie Wartość współrzędnej położenia zależy od wyboru początku i zwrotu osi. Jeśli tylko przesuniemy początek osi, nie zmieniając jej zwrotu, różnica współrzędnych dwóch punktów pozostaje taka sama. Po odwróceniu zwrotu osi znak współrzędnej przemieszczenia zmieni się. ### Szybka kontrola wyniku Po rozwiązaniu zadania sprawdź: - czy długości wektorów są nieujemne, - czy znak współrzędnej zgadza się ze zwrotem wektora, - czy przy przemieszczeniu użyto kolejności „położenie końcowe minus początkowe”.