Ruch prostoliniowy · Opis ruchu prostoliniowego

Opis ruchu prostoliniowego — położenie, droga i wykres x(t)

1. Opis położenia w czasie

### Jak opisujemy ruch prostoliniowy? W ruchu prostoliniowym położenie ciała opisujemy jedną współrzędną xx. Aby opis był jednoznaczny, trzeba określić początek osi, jej dodatni zwrot oraz jednostkę długości. Jeżeli obserwujemy ruch w czasie, położenie zapisujemy jako funkcję: x=x(t)x=x(t) Oznacza to, że każdej chwili tt przyporządkowujemy współrzędną położenia ciała xx. ### Położenie początkowe Położenie w chwili rozpoczęcia obserwacji oznaczamy zwykle przez: x0=x(0)x_0=x(0) Nie trzeba przyjmować x0=0x_0=0. Ciało może w chwili t=0t=0 znajdować się po dodatniej albo ujemnej stronie osi. ### Co wynika ze zmiany x(t)x(t)? - gdy xx rośnie, ciało porusza się zgodnie z dodatnim zwrotem osi, - gdy xx maleje, ciało porusza się przeciwnie do dodatniego zwrotu osi, - gdy xx się nie zmienia, ciało pozostaje w spoczynku. Wybór początku układu współrzędnych zmienia wartości samych współrzędnych xx, ale nie zmienia fizycznej odległości między dwoma punktami ani przemieszczenia między nimi.

2. Droga i przemieszczenie

### Przemieszczenie **Wektor przemieszczenia** Δr⃗\Delta\vec r jest skierowany od położenia początkowego do położenia końcowego ciała. W ruchu wzdłuż osi xx jego współrzędna wynosi: Δx=x2−x1\Delta x=x_2-x_1 Znak Δx\Delta x informuje o zwrocie przemieszczenia: - Δx>0\Delta x>0 — zwrot zgodny z osią xx, - Δx<0\Delta x<0 — zwrot przeciwny, - Δx=0\Delta x=0 — położenie końcowe jest takie samo jak początkowe. Długość wektora przemieszczenia jest zawsze nieujemna: ∣Δx∣|\Delta x| Dla kolejnych etapów ruchu przemieszczenia dodajemy ze znakami: Δx=Δx1+Δx2+…\Delta x=\Delta x_1+\Delta x_2+\ldots ### Droga **Droga ss** jest długością rzeczywiście przebytego toru. Jest wielkością skalarną i zawsze spełnia: s≥0s\ge 0 Jeżeli ciało porusza się po prostej bez zmiany zwrotu, to: s=∣Δx∣s=|\Delta x| Jeżeli ciało zawraca, drogę wyznaczamy jako sumę długości kolejnych etapów: s=∣Δx1∣+∣Δx2∣+…s=|\Delta x_1|+|\Delta x_2|+\ldots ### Przykład ruchu z nawrotem Ciało startuje z xA=0 mx_A=0\,\text{m}, dociera do xB=60 mx_B=60\,\text{m}, a następnie wraca do xC=20 mx_C=20\,\text{m}. Przemieszczenie całkowite: Δx=xC−xA=20 m\Delta x=x_C-x_A=20\,\text{m} Droga: s=60 m+40 m=100 ms=60\,\text{m}+40\,\text{m}=100\,\text{m} To pokazuje, że droga i wartość przemieszczenia są równe tylko w szczególnym przypadku ruchu bez zmiany zwrotu.

3. Jak czytać wykres położenia x(t)

### Co przedstawiają osie? Na wykresie x(t)x(t) na osi poziomej odkładamy czas tt, a na osi pionowej współrzędną położenia xx. Każdy punkt wykresu informuje, gdzie znajdowało się ciało w danej chwili. Położenie początkowe odczytujemy dla t=0t=0: x0=x(0)x_0=x(0) ### Kierunek ruchu Kierunek ruchu rozpoznajemy po tym, jak zmienia się współrzędna xx: - wykres rośnie — ciało porusza się zgodnie z dodatnim zwrotem osi xx, - wykres jest poziomy — ciało pozostaje w spoczynku, - wykres maleje — ciało porusza się przeciwnie do dodatniego zwrotu osi xx. ### Nachylenie wykresu i prędkość Dla prostoliniowego odcinka wykresu x(t)x(t) współrzędna prędkości jest stała i wynosi: vx=ΔxΔtv_x=\frac{\Delta x}{\Delta t} Jednostką nachylenia wykresu jest więc jednostka prędkości, np. m/s\text{m/s}. Im większa wartość ∣vx∣|v_x|, tym bardziej stromy jest odcinek wykresu przy tych samych skalach osi. Nie należy jednak utożsamiać prędkości bezpośrednio z tan⁡α\tan\alpha kąta widocznego na kartce — wartość tego kąta zależy od przyjętych skal obu osi. ### Przemieszczenie z wykresu W przedziale od t1t_1 do t2t_2 odczytujemy dwa położenia i obliczamy: Δx=x(t2)−x(t1)\Delta x=x(t_2)-x(t_1) ### Droga z wykresu Jeżeli ciało nie zmienia zwrotu ruchu, to: s=∣x(t2)−x(t1)∣s=|x(t_2)-x(t_1)| Jeżeli wykres ma punkt zwrotny, drogę trzeba policzyć etapami. Dla kolejnych odcinków: s=∣Δx1∣+∣Δx2∣+…s=|\Delta x_1|+|\Delta x_2|+\ldots Poziomy fragment wykresu oznacza postój: w tym czasie zarówno przyrost drogi, jak i przemieszczenie są równe zeru.

4. Najważniejsze pułapki

### Droga to nie to samo co przemieszczenie Jeżeli ciało zmienia zwrot ruchu, nie można zapisywać s=Δxs=\Delta x. Przemieszczenie zależy tylko od położenia początkowego i końcowego, natomiast droga uwzględnia cały przebyty tor. Jeżeli ciało wróci do punktu startu: Δx=0\Delta x=0 ale droga może być duża i na pewno nie musi być równa zeru. ### Zmiana początku osi Przesunięcie punktu x=0x=0 zmienia współrzędne położenia, ale przy zachowaniu tego samego zwrotu osi nie zmienia współrzędnej przemieszczenia: Δx=x2−x1\Delta x=x_2-x_1 Obie współrzędne przesuwają się o tę samą wartość, więc ich różnica pozostaje taka sama. ### Nie zakładaj, że x(0)=0x(0)=0 Położenie początkowe należy odczytać z danych lub wykresu. Może ono być dodatnie, ujemne albo równe zeru. Przykładowo, gdy x(0)=−200 mx(0)=-200\,\text{m}, to przemieszczenie po czasie tt wynosi: Δx=x(t)−(−200 m)\Delta x=x(t)-(-200\,\text{m}) ### Przy ruchu powrotnym nie odejmujemy dróg Drogi pokonane w kolejnych etapach zawsze dodajemy jako wartości nieujemne. Powrót może oznaczać ujemne przemieszczenie cząstkowe, ale dodatni przyrost drogi. ### Wykres x(t)x(t) nie pokazuje toru ruchu Linia na wykresie x(t)x(t) przedstawia zmianę współrzędnej położenia w czasie. Nie jest rysunkiem rzeczywistej trasy ciała. Oś pozioma oznacza czas, a nie położenie w przestrzeni. ### Szybka kontrola zadania Po rozwiązaniu sprawdź: - czy użyto kolejności „położenie końcowe minus położenie początkowe”, - czy droga jest nieujemna, - czy przy zmianie zwrotu droga została policzona etapami, - czy z wykresu x(t)x(t) poprawnie odczytano moment postoju i moment zmiany zwrotu.