Ruch prostoliniowy · Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny

Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny — opracowanie teoretyczne

1. Ruch jednostajnie zmienny i przyspieszenie

Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny to ruch po linii prostej, w którym współrzędna przyspieszenia jest stała: ax=const≠0.a_x=\text{const}\neq 0. ### Przyspieszenie Przyspieszenie opisuje, jak szybko zmienia się prędkość. Dla ruchu prostoliniowego: ax=ΔvxΔt=vx−v0xt−t0.a_x=\frac{\Delta v_x}{\Delta t}=\frac{v_x-v_{0x}}{t-t_0}. Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest: [a]=m/s2.[a]=\text{m/s}^2. Jeżeli przyspieszenie jest stałe, to w jednakowych odstępach czasu współrzędna prędkości zmienia się o jednakową wartość. ### Ruch przyspieszony i opóźniony O tym, czy szybkość rośnie, czy maleje, decyduje wzajemny zwrot prędkości i przyspieszenia: * gdy vxv_x i axa_x mają ten sam znak, szybkość rośnie, * gdy vxv_x i axa_x mają przeciwne znaki, szybkość maleje. Sam znak axa_x nie wystarcza więc do stwierdzenia, czy ciało przyspiesza, czy zwalnia. Zależy on także od przyjętego zwrotu osi.

2. Równania ruchu i prawo nieparzystych liczb Galileusza

Przyjmijmy, że chwila początkowa to t0=0t_0=0. Dla stałego przyspieszenia ruch wzdłuż osi xx opisują równania: ### Prędkość vx(t)=v0x+axtv_x(t)=v_{0x}+a_xt ### Położenie i przemieszczenie x(t)=x0+v0xt+axt22x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2} Stąd: Δx=v0xt+axt22.\Delta x=v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2}. Są to równania ze znakami. Współrzędne v0xv_{0x} i axa_x mogą być dodatnie lub ujemne w zależności od wybranego zwrotu osi. Jeżeli ciało w rozpatrywanym przedziale nie zmienia zwrotu, droga jest równa modułowi przemieszczenia: s=∣Δx∣.s=|\Delta x|. ### Zależność bez czasu Eliminując czas, otrzymujemy: vx2−v0x2=2axΔx.v_x^2-v_{0x}^2=2a_x\Delta x. Ta postać jest bezpieczniejsza niż zapisywanie wzoru od razu dla drogi, ponieważ uwzględnia znaki przyspieszenia i przemieszczenia. ### Prędkość średnia przy stałym przyspieszeniu W dowolnym przedziale, w którym ax=consta_x=\text{const}: vsˊr,x=v0x+vx2v_{\text{śr},x}=\frac{v_{0x}+v_x}{2} Δx=vsˊr,xt.\Delta x=v_{\text{śr},x}t. ### Prawo nieparzystych liczb Galileusza Dla ruchu od spoczynku ze stałym przyspieszeniem drogi przebyte w kolejnych jednakowych przedziałach czasu Δt\Delta t, bez zmiany zwrotu, są proporcjonalne do kolejnych liczb nieparzystych: Δs1:Δs2:Δs3:…=1:3:5:…\Delta s_1:\Delta s_2:\Delta s_3:\ldots=1:3:5:\ldots Droga w nn-tym takim przedziale wynosi: Δsn=∣ax∣2(2n−1)(Δt)2.\Delta s_n=\frac{|a_x|}{2}(2n-1)(\Delta t)^2. Dla kolejnych sekund należy przyjąć Δt=1 s\Delta t=1\,\text{s}. Dzięki temu wzór pozostaje poprawny także pod względem jednostek.

3. Swobodny spadek i rzut pionowy w polu grawitacyjnym

W pobliżu powierzchni Ziemi, jeżeli pomijamy opór powietrza, ruch pionowy można traktować jako ruch ze stałym przyspieszeniem grawitacyjnym o wartości: g≈9,81 m/s2.g\approx 9{,}81\,\text{m/s}^2. W zadaniu należy używać wartości gg podanej w treści lub tablicach. ### Swobodny spadek Dla ciała puszczonego bez prędkości początkowej i drogi spadania hh: v=gtv=gt h=gt22h=\frac{gt^2}{2} v2=2gh.v^2=2gh. Stąd między innymi: t=2hg.t=\sqrt{\frac{2h}{g}}. W tych wzorach vv oznacza wartość prędkości, a hh — przebytą w dół drogę. ### Rzut pionowy w górę Jeżeli oś yy skierujemy pionowo w górę i przyjmiemy y(0)=0y(0)=0, to: ay=−g,a_y=-g, vy(t)=v0−gt,v_y(t)=v_0-gt, y(t)=v0t−gt22.y(t)=v_0t-\frac{gt^2}{2}. W najwyższym punkcie toru chwilowa prędkość wynosi zero: vy=0.v_y=0. Dlatego czas wznoszenia i wysokość maksymalna względem punktu wyrzutu wynoszą: twzn=v0gt_{\text{wzn}}=\frac{v_0}{g} hmax⁡=v022g.h_{\max}=\frac{v_0^2}{2g}. Jeżeli ciało wraca na dokładnie ten sam poziom, z którego zostało wyrzucone, to czas całego lotu jest równy: tlotu=2v0g.t_{\text{lotu}}=\frac{2v_0}{g}. Ten ostatni wzór nie obowiązuje, gdy punkt końcowy znajduje się na innej wysokości niż punkt wyrzutu.

4. Wykresy kinematyczne: a(t), v(t) oraz x(t)

W ruchu prostoliniowym jednostajnie zmiennym wykresy pozwalają odczytać najważniejsze zależności bez zapamiętywania dodatkowych wzorów. ### Wykres przyspieszenia ax(t)a_x(t) Ponieważ przyspieszenie jest stałe: ax(t)=const.a_x(t)=\text{const}. Pole algebraiczne między wykresem ax(t)a_x(t) a osią czasu w danym przedziale odpowiada zmianie współrzędnej prędkości: Δvx=axΔt.\Delta v_x=a_x\Delta t. ### Wykres prędkości vx(t)v_x(t) Wykres jest linią prostą. Przyspieszenie wyznaczamy z jej nachylenia jako stosunek zmian wartości na osiach: ax=ΔvxΔt.a_x=\frac{\Delta v_x}{\Delta t}. Nie należy zapisywać ax=tan⁡αa_x=\tan\alpha bez uwzględnienia skal osi — sam kąt narysowanej prostej nie ma bezpośrednio jednostki przyspieszenia. Pole algebraiczne między wykresem vx(t)v_x(t) a osią czasu daje przemieszczenie: Δx=pole algebraiczne pod wykresem vx(t).\Delta x=\text{pole algebraiczne pod wykresem }v_x(t). Jeżeli vxv_x zmienia znak, droga nie jest równa temu polu algebraicznemu. Wtedy trzeba dodać wartości bezwzględne pól odpowiadających kolejnym odcinkom ruchu. Przy stałym przyspieszeniu i bez zmiany zwrotu można wykorzystać: Δx=v0x+vx2 t,\Delta x=\frac{v_{0x}+v_x}{2}\,t, a następnie s=∣Δx∣s=|\Delta x|. ### Wykres położenia x(t)x(t) Wykres położenia jest fragmentem paraboli: x(t)=x0+v0xt+axt22.x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2}. Kierunek wygięcia paraboli zależy od znaku axa_x: * dla ax>0a_x>0 parabola jest wygięta ku górze, * dla ax<0a_x<0 parabola jest wygięta ku dołowi. Nie jest to to samo co podział na ruch przyspieszony i opóźniony. Szybkość rośnie lub maleje w zależności od znaków zarówno vxv_x, jak i axa_x. Jeżeli w rozpatrywanym ruchu występuje chwila, w której vx=0v_x=0, odpowiada ona ekstremum wykresu x(t)x(t) i może oznaczać zmianę zwrotu ruchu.

5. Pułapki i najczęstsze błędy maturalne

### Przyspieszenie a zmiana prędkości Przyspieszenie nie jest po prostu „zmianą prędkości w jednej sekundzie”. Definiujemy je jako: ax=ΔvxΔt.a_x=\frac{\Delta v_x}{\Delta t}. Dopiero dla przedziału Δt=1 s\Delta t=1\,\text{s} zmiana prędkości ma wartość liczbową odpowiadającą przyspieszeniu wyrażonemu w m/s2\text{m/s}^2. ### Znak przyspieszenia nie mówi, czy ciało zwalnia Trzeba porównać znaki vxv_x i axa_x. Gdy są jednakowe, szybkość rośnie; gdy są przeciwne, szybkość maleje. ### Droga i przemieszczenie Równania kinematyczne zapisane ze współrzędnymi opisują przemieszczenie Δx\Delta x. Jeżeli ciało zmienia zwrot, całkowita droga wymaga podziału ruchu na etapy. ### Droga w nn-tym przedziale Nie myl drogi przebytej do chwili t=nΔtt=n\Delta t z drogą przebytą tylko w nn-tym przedziale. Drugą wielkość otrzymujemy jako różnicę położeń lub dróg na końcach tego przedziału. ### Wykresy Na wykresie vx(t)v_x(t) nachylenie daje: ax=ΔvxΔt,a_x=\frac{\Delta v_x}{\Delta t}, a pole algebraiczne daje przemieszczenie. Sam kąt nachylenia narysowanej prostej nie jest wartością przyspieszenia. ### Rzut pionowy Przy osi skierowanej w górę zawsze zapisujemy ay=−ga_y=-g. Wzór tlotu=2v0/gt_{\text{lotu}}=2v_0/g można stosować tylko wtedy, gdy ciało wraca na poziom wyrzutu. ### Prędkość średnia Zależność vsˊr,x=v0x+vx2v_{\text{śr},x}=\frac{v_{0x}+v_x}{2} obowiązuje dla stałego przyspieszenia. ### Schemat rozwiązania Krok 1: Wybierz oś i jej zwrot oraz zapisz dane ze znakami. Krok 2: Zapisz równanie symboliczne odpowiednie do szukanej wielkości. Krok 3: Jeżeli występuje zatrzymanie lub zmiana zwrotu, podziel ruch na etapy. Krok 4: Przekształć wzór, a dopiero potem podstaw wartości i sprawdź jednostkę oraz sens fizyczny wyniku.