Termodynamika · Praca a wykresy przemian gazowych

Praca gazu i wykresy p(V) — teoria (poziom rozszerzony)

Energia wewnętrzna i pierwsza zasada

Energia wewnętrzna UU jest łączną mikroskopową energią cząsteczek gazu. W modelu gazu doskonałego pomijamy energię ich wzajemnych oddziaływań, więc dla danej ilości gazu UU zależy tylko od temperatury. Dla gazu jednoatomowego U=32nRTU=\frac32nRT, a jego zmiana wynosi ΔU=32nRΔT\Delta U=\frac32nR\Delta T. Dla gazu dwuatomowego w typowym zakresie temperatur ΔU=52nRΔT\Delta U=\frac52nR\Delta T. Symbole nn i RR oznaczają odpowiednio ilość gazu w molach i stałą gazową. Energia wewnętrzna jest funkcją stanu. Po pełnym cyklu, gdy gaz wraca do stanu początkowego, ΔU=0\Delta U=0.

Energia wewnętrzna i pierwsza zasada

Przyjmijmy, że ciepło QQ jest dodatnie, gdy gaz je pobiera, a praca WgazW_{\mathrm{gaz}} jest dodatnia, gdy gaz wykonuje ją nad otoczeniem. Pierwsza zasada termodynamiki ma wtedy postać: ΔU=Q−Wgaz.\Delta U=Q-W_{\mathrm{gaz}}. Równoważnie Q=ΔU+WgazQ=\Delta U+W_{\mathrm{gaz}}. Jeżeli przez WW oznaczono pracę wykonaną nad gazem, znak pracy jest przeciwny. Ciepło i praca opisują przekazywanie energii podczas procesu; ich wartości zależą od jego przebiegu.

Ciepło molowe gazu

Ciepło molowe CC mówi, ile energii potrzeba, by ogrzać jeden mol substancji o jeden kelwin. Dla gazu rozróżniamy CVC_V przy stałej objętości i CpC_p przy stałym ciśnieniu. Ich jednostką jest J mol−1 K−1\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}. Dla gazu doskonałego Cp−CV=RC_p-C_V=R. Przy ogrzewaniu pod stałym ciśnieniem część energii zwiększa energię wewnętrzną, a część służy do wykonania pracy, dlatego Cp>CVC_p>C_V. Dla gazu jednoatomowego CV=32RC_V=\frac32R, Cp=52RC_p=\frac52R; dla dwuatomowego w typowym zakresie temperatur CV=52RC_V=\frac52R, Cp=72RC_p=\frac72R.

Praca gazu na wykresie $p(V)$

Gdy gaz zwiększa objętość i przesuwa tłok, wykonuje pracę nad otoczeniem. Na wykresie ciśnienia pp w funkcji objętości VV praca w quasi-statycznej przemianie jest polem pod krzywą między początkową i końcową objętością. Przy stałym ciśnieniu Wgaz=p(V2−V1)W_{\mathrm{gaz}}=p(V_2-V_1). Rozprężanie daje pracę dodatnią, a sprężanie — ujemną. Przy stałej objętości praca wynosi zero. Dla odcinka prostego na wykresie pole trapezu daje Wgaz=p1+p22(V2−V1)W_{\mathrm{gaz}}=\frac{p_1+p_2}{2}(V_2-V_1). Ciśnienie podaj w paskalach, a objętość w metrach sześciennych: wtedy pole ma jednostkę dżula, bo 1 Pa m3=1 J1\,\mathrm{Pa\,m^3}=1\,\mathrm J.

Praca gazu na wykresie $p(V)$

Przy konwencji ΔU=Q−Wgaz\Delta U=Q-W_{\mathrm{gaz}} warunek przemiany upraszcza bilans energii: - **Izochoryczna:** V=constV=\mathrm{const}, więc Wgaz=0W_{\mathrm{gaz}}=0 i Q=ΔUQ=\Delta U. - **Izobaryczna:** p=constp=\mathrm{const}, więc Wgaz=pΔVW_{\mathrm{gaz}}=p\Delta V. - **Izotermiczna gazu doskonałego:** T=constT=\mathrm{const}, zatem ΔU=0\Delta U=0 i Q=WgazQ=W_{\mathrm{gaz}}. Dla odwracalnej przemiany Wgaz=nRTln⁡(V2/V1)W_{\mathrm{gaz}}=nRT\ln(V_2/V_1). - **Adiabatyczna:** Q=0Q=0, zatem ΔU=−Wgaz\Delta U=-W_{\mathrm{gaz}}. W odwracalnym procesie gazu doskonałego pVγ=constpV^\gamma=\mathrm{const}, gdzie γ=Cp/CV\gamma=C_p/C_V. W symbolach ΔV=V2−V1\Delta V=V_2-V_1, a V1,V2V_1,V_2 to objętości początkowa i końcowa.

Praca i bilans energii w cyklu

Po pełnym cyklu gaz wraca do stanu początkowego. Ponieważ energia wewnętrzna jest funkcją stanu, ΔUcyklu=0\Delta U_{\mathrm{cyklu}}=0, a z pierwszej zasady wynika Qnetto=Wgaz,nettoQ_{\mathrm{netto}}=W_{\mathrm{gaz,netto}}. Praca netto odpowiada polu zamkniętej pętli na wykresie p(V)p(V), ze znakiem określonym kierunkiem obiegu. Obieg zgodny z ruchem wskazówek zegara oznacza dodatnią pracę gazu; w obiegu przeciwnym praca gazu jest ujemna. Ciepło i praca w trakcie cyklu mogą być niezerowe, mimo że zmiana energii wewnętrznej po całym cyklu wynosi zero.

Znaczenie znaków i jednostek

Pole pod wykresem p(V)p(V) opisuje pracę tylko razem z kierunkiem przemiany. Przy rozprężaniu praca gazu jest dodatnia, a przy sprężaniu ujemna. Dla pełnego cyklu liczy się pole pętli, nie suma pól bez znaków. Wzór Wgaz=pΔVW_{\mathrm{gaz}}=p\Delta V dotyczy stałego ciśnienia. Przy zmiennym ciśnieniu odczytaj pole pod krzywą. Pamiętaj też o zgodnych jednostkach: Pa m3=J\mathrm{Pa\,m^3}=\mathrm J.

Zależności dla pracy gazu

W przemianie izobarycznej praca gazu zależy od ciśnienia i zmiany objętości: Wgaz=pΔV.W_{\mathrm{gaz}}=p\Delta V. Przy rozprężaniu ΔV>0\Delta V>0, więc gaz wykonuje pracę dodatnią. Przy sprężaniu ΔV<0\Delta V<0, więc praca gazu jest ujemna. Jeśli objętość się nie zmienia, gaz nie wykonuje pracy objętościowej.

Zależności dla pracy gazu

W cyklu zamkniętym gaz wraca do stanu początkowego, więc jego zmiana energii wewnętrznej wynosi zero. Z pierwszej zasady wynika wtedy, że ciepło netto pobrane przez gaz jest równe pracy netto wykonanej przez gaz: Qnetto=Wgaz,netto.Q_{\mathrm{netto}}=W_{\mathrm{gaz,netto}}. Wartości te mogą być niezerowe. Ich znak zależy od kierunku obiegu i przyjętej konwencji.