Zjawiska cieplne · Rozszerzalność cieplna

Rozszerzalność cieplna ciał stałych i cieczy

1. Rozszerzalność liniowa ciał stałych

### Skąd bierze się rozszerzalność cieplna? W ciele stałym atomy i cząsteczki drgają wokół swoich położeń równowagi. Gdy temperatura rośnie, ich ruch cieplny staje się intensywniejszy, a średnie odległości między nimi zazwyczaj nieco się zwiększają. W skali makroskopowej obserwujemy wtedy zwiększenie wymiarów ciała. ### Rozszerzalność liniowa Dla niewielkich i umiarkowanych zmian temperatury wydłużenie pręta można opisać zależnością: Δl=l0αΔT\Delta l=l_0\alpha\Delta T gdzie l0l_0 jest długością początkową, Δl\Delta l — zmianą długości, ΔT\Delta T — zmianą temperatury, a α\alpha — współczynnikiem rozszerzalności liniowej materiału. Długość końcowa wynosi: l=l0(1+αΔT)l=l_0(1+\alpha\Delta T) Jednostką współczynnika α\alpha jest K−1\text{K}^{-1}. Zmiana temperatury o 1 K1\,\text{K} ma taką samą wartość liczbową jak zmiana o 1∘C1^\circ\text{C}, dlatego we wzorze na rozszerzalność można używać różnicy temperatur wyrażonej w kelwinach lub stopniach Celsjusza. ### Zastosowania i skutki Im dłuższy element, większy współczynnik α\alpha i większa zmiana temperatury, tym większa zmiana długości. Dlatego w mostach, torach i rurociągach umożliwia się elementom niewielkie zmiany wymiarów, np. przez szczeliny dylatacyjne. Gdy rozszerzanie jest całkowicie zablokowane, mogą powstawać duże naprężenia. Rozszerzalność wpływa też na pomiary. Ogrzana metalowa taśma miernicza ma nieco większe odstępy między kreskami, dlatego pomiar stałego odcinka taką taśmą daje wynik zaniżony: Lodcz=Lrzecz1+αΔTL_{\text{odcz}}=\frac{L_{\text{rzecz}}}{1+\alpha\Delta T} ### Zegar wahadłowy Jeżeli pręt wahadła ogrzewa się i wydłuża, okres drgań rośnie, ponieważ: T=2πlgT=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} Dla małych zmian długości można otrzymać przybliżenie: ΔTokresT0≈12αΔt\frac{\Delta T_{\text{okres}}}{T_0}\approx\frac12\alpha\Delta t Ogrzany zegar wahadłowy wykonuje więc mniej wahnięć w jednostce czasu i zaczyna się spóźniać.

2. Pole, objętość i otwory w ciałach stałych

### Rozszerzalność powierzchniowa Jeżeli ciało stałe jest izotropowe, czyli rozszerza się tak samo we wszystkich kierunkach, to dla małych zmian wymiarów współczynnik rozszerzalności powierzchniowej jest w przybliżeniu równy: βS≈2α\beta_S\approx2\alpha Zmianę pola powierzchni opisujemy wtedy wzorem: ΔS=S0βSΔT\Delta S=S_0\beta_S\Delta T ### Rozszerzalność objętościowa ciała stałego Dla takiego samego ciała współczynnik rozszerzalności objętościowej jest w przybliżeniu: βV≈3α\beta_V\approx3\alpha a zmiana objętości wynosi: ΔV=V0βVΔT\Delta V=V_0\beta_V\Delta T Relacje βS≈2α\beta_S\approx2\alpha i βV≈3α\beta_V\approx3\alpha wynikają z tego, że podczas ogrzewania zmieniają się odpowiednio dwa lub trzy wymiary ciała. ### Co dzieje się z otworem? Otwór w ogrzewanej płycie również się powiększa. Jego średnica zmienia się tak, jak średnica krążka wykonanego z tego samego materiału: Δd=d0αΔT\Delta d=d_0\alpha\Delta T To ważna pułapka: metal nie „rozszerza się do środka” otworu. Zjawisko wykorzystuje się podczas pasowania cieplnego — można ogrzać element z otworem albo ochłodzić sworzeń, aby ułatwić montaż.

3. Rozszerzalność cieczy i naczyń

### Rozszerzalność cieczy Ciecze nie mają własnego stałego kształtu, dlatego opisujemy przede wszystkim zmianę ich objętości: ΔV=V0βΔT\Delta V=V_0\beta\Delta T czyli: V=V0(1+βΔT)V=V_0(1+\beta\Delta T) gdzie β\beta jest współczynnikiem rozszerzalności objętościowej cieczy. ### Ciecz w naczyniu Podczas ogrzewania rozszerza się nie tylko ciecz, ale również naczynie. Jeżeli naczynie jest wykonane z izotropowego ciała stałego o współczynniku rozszerzalności liniowej αz\alpha_z, jego pojemność zmienia się w przybliżeniu tak, jak objętość materiału: βz≈3αz\beta_z\approx3\alpha_z Jeżeli naczynie było początkowo wypełnione po brzegi, a ciecz rozszerza się silniej niż naczynie, część cieczy się wyleje. W prostym modelu: ΔVwyl=V0(βc−3αz)ΔT\Delta V_{\text{wyl}}=V_0(\beta_c-3\alpha_z)\Delta T W zadaniu zawsze trzeba sprawdzić, czy należy uwzględnić rozszerzalność samego naczynia.

4. Zmiana objętości gazu przy stałym ciśnieniu

### Gaz doskonały przy stałym ciśnieniu Dla stałej ilości gazu doskonałego w przemianie izobarycznej objętość jest proporcjonalna do temperatury bezwzględnej: VT=const\frac{V}{T}=\text{const} Dlatego dla dwóch stanów: V1T1=V2T2\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2} Temperatury T1T_1 i T2T_2 muszą być podane w kelwinach. To odróżnia ten wzór od wzorów na rozszerzalność ciał stałych i cieczy, w których występuje tylko zmiana temperatury ΔT\Delta T. W zadaniach z gazem najbezpieczniej korzystać bezpośrednio z proporcji V/T=constV/T=\text{const} zamiast traktować gaz tak samo jak ciecz o stałym współczynniku rozszerzalności.

5. Bimetal i skutki ograniczenia rozszerzalności

### Bimetal Bimetal składa się z dwóch trwale połączonych warstw metali o różnych współczynnikach rozszerzalności liniowej. Jeżeli αB>αA\alpha_B>\alpha_A, to podczas ogrzewania warstwa B chciałaby wydłużyć się bardziej. Ponieważ warstwy są połączone, pasek wygina się w stronę metalu o mniejszym współczynniku rozszerzalności. Bimetale wykorzystuje się m.in. w termostatach i wyłącznikach termicznych. ### Gdy ciało nie może się swobodnie rozszerzać Jeżeli ogrzewany element jest sztywno zablokowany, nie może osiągnąć długości wynikającej ze swobodnej rozszerzalności. Powstają wtedy naprężenia i duże siły działające na podpory lub połączenia. To jeden z powodów stosowania dylatacji w konstrukcjach. Na poziomie szkolnym najważniejsze jest rozpoznanie kierunku zmian: ogrzewane ciało zwykle chce zwiększyć swoje wymiary, a chłodzone — zmniejszyć.

6. Anomalia rozszerzalności wody i najważniejsze pułapki

### Anomalia rozszerzalności wody Większość cieczy zwiększa objętość podczas ogrzewania. Woda zachowuje się inaczej w zakresie od 0∘C0^\circ\text{C} do około 4∘C4^\circ\text{C}. Podczas ogrzewania wody od 0∘C0^\circ\text{C} do 4∘C4^\circ\text{C} jej objętość maleje, a gęstość rośnie. W temperaturze około 4∘C4^\circ\text{C} woda ma największą gęstość. Powyżej 4∘C4^\circ\text{C} zachowuje się typowo — podczas ogrzewania zwiększa objętość, a jej gęstość maleje. Zjawisko jest związane ze szczególną budową cząsteczek wody i wiązaniami wodorowymi. Nie trzeba do jego stosowania w zadaniach znać szczegółowego modelu mikroskopowego. ### Dlaczego jeziora zamarzają od góry? Jesienią ochładzająca się woda o temperaturze wyższej niż 4∘C4^\circ\text{C} staje się gęstsza i opada. Gdy woda przy powierzchni ochłodzi się poniżej 4∘C4^\circ\text{C}, jej gęstość zaczyna maleć, dlatego pozostaje bliżej powierzchni. Woda przy powierzchni może osiągnąć 0∘C0^\circ\text{C} i zamarznąć, podczas gdy głębiej pozostaje woda o temperaturze bliskiej 4∘C4^\circ\text{C}. Lód ma mniejszą gęstość niż ciekła woda, więc unosi się na powierzchni.

6. Anomalia rozszerzalności wody i najważniejsze pułapki

### Co trzeba szczególnie uważać? 1. **Zmiana temperatury a temperatura bezwzględna.** Wartości ΔT\Delta T w kelwinach i Δt\Delta t w stopniach Celsjusza są liczbowo takie same. Jednak w zależności V/T=constV/T=\text{const} temperatura musi być w kelwinach. 2. **Otwór w ogrzewanej płycie powiększa się**, a nie zmniejsza. 3. Dla izotropowego ciała stałego i małych zmian wymiarów: βS≈2α\beta_S\approx2\alpha oraz βV≈3α\beta_V\approx3\alpha. 4. **Ogrzana metalowa miarka zaniża odczyt**, ponieważ jej podziałka również się wydłuża. 5. **Ogrzane wahadło jest dłuższe**, więc jego okres rośnie, a zegar wahadłowy się spóźnia. 6. Woda między 0∘C0^\circ\text{C} a 4∘C4^\circ\text{C} jest wyjątkiem: podczas ogrzewania jej objętość maleje, a gęstość rośnie.