Zadanie Zadanie 8.6.11: Silnik Stirlinga – analiza cyklu termodynamicznego i sprawność

Punkty
5 pkt
Dział
Termodynamika · Silniki cieplne i II zasada termodynamiki
Trudność
Poziom trudności: trudne
Analiza termodynamiczna silnika Stirlinga: uzupełnienie tabeli wzorów na pracę i ciepło w przemianach cyklu p(V), wyznaczenie relacji między wielkościami, wyprowadzenie wzoru na sprawność silnika Stirlinga z regeneratorem oraz porównanie z cyklem Carnota i silnikami spalinowymi.

Treść zadania

Rozpatrz idealny silnik Stirlinga, w którym gaz doskonały o liczbie moli nn wykonuje cykl między temperaturami Th>TcT_h>T_c i objętościami Vmin⁡<Vmax⁡V_{\min}<V_{\max}. RR oznacza uniwersalną stałą gazową, a CVC_V — molowe ciepło właściwe gazu przy stałej objętości. Kolejne przemiany są następujące: 1→21\rightarrow2 — izotermiczne rozprężanie w temperaturze ThT_h od Vmin⁡V_{\min} do Vmax⁡V_{\max}; 2→32\rightarrow3 — izochoryczne chłodzenie przy Vmax⁡V_{\max} do temperatury TcT_c; 3→43\rightarrow4 — izotermiczne sprężanie w temperaturze TcT_c do objętości Vmin⁡V_{\min}; 4→14\rightarrow1 — izochoryczne ogrzewanie z powrotem do ThT_h. Silnik ma idealny regenerator: magazynuje całe ciepło oddane przez gaz podczas 2→32\rightarrow3 i przekazuje je z powrotem gazowi podczas 4→14\rightarrow1, bez strat. Przyjmij, że WW oznacza pracę wykonaną przez gaz, a dodatnie QQ — ciepło pobrane przez gaz. Uzupełnij tabelę wzorami na pracę WW i ciepło QQ w każdej przemianie. Następnie porównaj wartości bezwzględne prac w przemianach izotermicznych oraz ciepła w przemianach izochorycznych, wyprowadź sprawność silnika i porównaj ją ze sprawnością Carnota. Dla porównania silników przyjmij jednakowe temperatury ThT_h i TcT_c oraz porównaj z idealnymi cyklami Otto i Diesla.

Odpowiedź i wynik końcowy

Tabela: W1→2=Q1→2=nRThln⁡(Vmax⁡Vmin⁡)W_{1\rightarrow2}=Q_{1\rightarrow2}=nRT_h\ln\left(\frac{V_{\max}}{V_{\min}}\right) W2→3=0W_{2\rightarrow3}=0, Q2→3=nCV(Tc−Th)Q_{2\rightarrow3}=nC_V(T_c-T_h) W3→4=Q3→4=nRTcln⁡(Vmin⁡Vmax⁡)W_{3\rightarrow4}=Q_{3\rightarrow4}=nRT_c\ln\left(\frac{V_{\min}}{V_{\max}}\right) W4→1=0W_{4\rightarrow1}=0, Q4→1=nCV(Th−Tc)Q_{4\rightarrow1}=nC_V(T_h-T_c) ∣W1→2∣>∣W3→4∣|W_{1\rightarrow2}|>|W_{3\rightarrow4}| oraz ∣Q2→3∣=Q4→1|Q_{2\rightarrow3}|=Q_{4\rightarrow1}. Idealny regenerator zwraca ciepło między przemianami izochorycznymi, więc η=1−TcTh\eta=1-\frac{T_c}{T_h}. To sprawność Carnota; przy tych samych temperaturach źródeł idealny silnik Stirlinga osiąga większą sprawność niż idealny cykl Otto lub Diesla.