Zadanie 8.5.7: Rozprężanie izotermiczne i adiabatyczne gazu doskonałego

Punkty
5 pkt
Dział
Termodynamika · Praca a wykresy przemian gazowych
Trudność
Poziom trudności: trudne
Porównanie rozprężania izotermicznego i adiabatycznego – ciśnienia końcowe, praca analityczna i szacowanie z kratek.

Treść zadania

Na wykresie p(V)p(V) przedstawiono krzywe dla izotermicznego i adiabatycznego rozprężania jednego mola gazu doskonałego. Początkowe parametry gazu wynoszą: objętość V1=2 dm3V_1 = 2\text{ dm}^3, ciśnienie p1=6⋅105 Pap_1 = 6 \cdot 10^5\text{ Pa}. Od stanu początkowego (V1,p1)(V_1, p_1) gaz rozpręża się do objętości V2=4 dm3V_2 = 4\text{ dm}^3 – izotermicznie do stanu 2 oraz adiabatycznie do stanu 3. ```chart { "xAxis": { "label": "V [dm³]" }, "yAxis": { "label": "p [10⁵ Pa]" }, "lines": [ {"x": 2, "y": 6}, {"x": 3, "y": 4}, {"x": 4, "y": 3} ] } ``` a) Oblicz, jakie ciśnienie p2ip_{2i} osiągnie gaz podczas izotermicznego rozprężania do objętości V2=4 dm3V_2 = 4\text{ dm}^3. b) Jakie ciśnienie końcowe p2ap_{2a} osiągnie gaz, jeżeli przy tej samej zmianie objętości będzie rozprężany adiabatycznie? Równanie adiabaty ma postać pVκ=constpV^\kappa = \text{const}, gdzie κ=1,4\kappa = 1,4. c) Na podstawie wykresu oszacuj wartość pracy wykonanej przez gaz w przemianach izotermicznej i adiabatycznej, przyjmując, że pole jednej kratki odpowiada energii 14 J14\text{ J} (pod izotermą znajduje się ok. 60 kratek, a pod adiabatą ok. 52 kratki). d) Oblicz dokładne wartości pracy w obu przemianach ze wzorów: Wizoter=nRT1ln⁡V2V1Wadiab=nCV(T1−T3)W_{\text{izoter}} = nRT_1 \ln\frac{V_2}{V_1} \qquad W_{\text{adiab}} = nC_V(T_1 - T_3) Obliczenia przeprowadź dla n=1 moln = 1\text{ mol}, CV=52RC_V = \frac{5}{2}R, R=8,31 Jmol⋅KR = 8,31\text{ }\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}. Porównaj wyniki z wartościami oszacowanymi i oblicz błąd względny.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) p2i=3⋅105 Pap_{2i} = 3 \cdot 10^5\text{ Pa} b) p2a≈2,27⋅105 Pap_{2a} \approx 2,27 \cdot 10^5\text{ Pa} c) Wszac,izoter≈840 JW_{\text{szac,izoter}} \approx 840\text{ J} (60 kratek po 14 J14\text{ J}), Wszac,adiab≈728 JW_{\text{szac,adiab}} \approx 728\text{ J} (52 kratki po 14 J14\text{ J}) d) Wizoter≈831,8 JW_{\text{izoter}} \approx 831,8\text{ J} (błąd względny ≈1,0%\approx 1,0\%), Wadiab≈726,5 JW_{\text{adiab}} \approx 726,5\text{ J} (błąd względny ≈0,2%\approx 0,2\%) a: p2i=3⋅105 Pap_{2i} = 3 \cdot 10^5\text{ Pa} b: p2a≈2,27⋅105 Pap_{2a} \approx 2,27 \cdot 10^5\text{ Pa} c: Wszac,izoter≈840 JW_{\text{szac,izoter}} \approx 840\text{ J} (60 kratek po 14 J14\text{ J}), Wszac,adiab≈728 JW_{\text{szac,adiab}} \approx 728\text{ J} (52 kratki po 14 J14\text{ J}) d: Wizoter≈831,8 JW_{\text{izoter}} \approx 831,8\text{ J} (błąd względny ≈1,0%\approx 1,0\%), Wadiab≈726,5 JW_{\text{adiab}} \approx 726,5\text{ J} (błąd względny ≈0,2%\approx 0,2\%)