Zadanie Zadanie 4.1.10: Siła naciągu liny asekuracyjnej przy poprzecznym obciążeniu i małym ugięciu

Punkty
4 pkt
Dział
Ruch i siły · Odziaływania
Trudność
Poziom trudności: średnie
Pylony mostu są oddalone od siebie o poziomą odległość D=10,0 mD = 10,0\,\text{m}. Linę asekuracyjną modelujemy jako dwie proste, symetryczne gałęzie połączone w punkcie podwieszenia. Inspektor wraz z osprzętem ma masę m=80 kgm = 80\,\text{kg} i zawisa dokładnie pośrodku rozpiętości. Punkt podwieszenia obniża się o y=25 cm=0,25 my = 25\,\text{cm} = 0,25\,\text{m}. Pomiń masę liny i przyjmij g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2; wykonaj też obliczenia dla g=9,81 m/s2g = 9,81\,\text{m/s}^2. a) Wyznacz kąt nachylenia każdej gałęzi liny do poziomu θ\theta. b) Wyprowadź warunek równowagi i oblicz siłę naciągu FF w każdej gałęzi dla obu wartości gg. c) Oblicz, ile razy naciąg jednej gałęzi przewyższa ciężar inspektora. Wyjaśnij, dlaczego przy niezerowym ciężarze lina nie może pozostać idealnie pozioma.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) θ≈2,86∘\theta \approx 2,86^\circ. b) F=mg2sin⁡θ≈8,01 kN=8010 NF = \frac{mg}{2\sin\theta} \approx 8,01\,\text{kN} = 8010\,\text{N} dla g=10 m/s2g=10\,\text{m/s}^2; F≈7,86 kN=7858 NF \approx 7,86\,\text{kN} = 7858\,\text{N} dla g=9,81 m/s2g=9,81\,\text{m/s}^2. c) FFg≈10,0\frac{F}{F_g} \approx 10,0. Przy równowadze pionowe składowe naciągu spełniają 2Fsin⁡θ=mg2F\sin\theta=mg. Gdyby lina była idealnie pozioma, θ=0∘\theta=0^\circ i składowe pionowe wyniosłyby zero; dla mg>0mg>0 wymagałoby to nieskończonego naciągu. a: a) θ≈2,86∘\theta \approx 2,86^\circ b: b) F=mg2sin⁡θ≈8,01 kN=8010 NF = \frac{mg}{2\sin\theta} \approx 8,01\,\text{kN} = 8010\,\text{N} (dla g=9,81 m/s2g = 9,81\,\text{m/s}^2: F≈7,86 kN=7858 NF \approx 7,86\,\text{kN} = 7858\,\text{N}) c: c) FFg≈10,0\frac{F}{F_g} \approx 10,0 razy. Do zrównoważenia ciężaru mgmg w pionie niezbędna jest niezerowa składowa pionowa naciągu 2Fsin⁡θ=mg2F\sin\theta = mg. Gdyby lina była idealnie pozioma (θ=0∘\theta = 0^\circ), to sin⁡0∘=0\sin 0^\circ = 0 i siła naciągu musiałaby dążyć do nieskończoności (F→∞F \to \infty).