Zadanie Zadanie 4.1.11: Równowaga dwucięgnowego niesymetrycznego zawiesia łańcuchowego suwnicy

Punkty
4 pkt
Dział
Ruch i siły · Odziaływania
Trudność
Poziom trudności: średnie
W hali montażowej fabryki maszyn suwnica warsztatowa podnosi za pomocą dwucięgnowego zawiesia łańcuchowego ciężki blok obrabiarki numerycznej o masie m=500 kgm = 500\,\text{kg}. Cięgna łańcuchowe A i B zbiegają się we wspólnym haku zawiesia i tworzą z pionem kąty odpowiednio: α=30∘\alpha = 30^\circ (cięgno A) oraz β=60∘\beta = 60^\circ (cięgno B). Cały układ znajduje się w równowadze statycznej. a) Sporządź schemat wektorowy sił działających w węźle podwieszenia i zapisz algebraiczne równania równowagi sił w osi poziomej i pionowej. b) Wyprowadź wzory analityczne na wartości sił naciągu obu cięgien FAF_A oraz FBF_B w funkcji masy mm, przyspieszenia ziemskiego gg oraz kątów α\alpha i β\beta. c) Oblicz wartości sił naciągu FAF_A oraz FBF_B dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2 oraz dla g=9,81 m/s2g = 9{,}81\,\text{m/s}^2.

Treść zadania

W hali montażowej fabryki maszyn suwnica warsztatowa podnosi za pomocą dwucięgnowego zawiesia łańcuchowego ciężki blok obrabiarki numerycznej o masie m=500 kgm = 500\,\text{kg}. Cięgna łańcuchowe A i B zbiegają się we wspólnym haku zawiesia i tworzą z pionem kąty odpowiednio: α=30∘\alpha = 30^\circ (cięgno A, odchylone w lewo) oraz β=60∘\beta = 60^\circ (cięgno B, odchylone w prawo). Układ pozostaje w spoczynku (równowadze statycznej). Polecenia: a) Sporządź schemat wektorowy sił działających w węźle podwieszenia i zapisz algebraiczne równania równowagi w osi poziomej i pionowej. b) Wyprowadź wzory analityczne na wartości sił naciągu obu cięgien FAF_A oraz FBF_B w funkcji masy mm, przyspieszenia ziemskiego gg oraz kątów α\alpha i β\beta. c) Oblicz wartości sił naciągu FAF_A oraz FBF_B. Przyjmij g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2 (podaj również wartości dla g=9,81 m/s2g = 9{,}81\,\text{m/s}^2).

Odpowiedź i wynik końcowy

Wzory ogólne: FA=mgsin⁡βsin⁡(α+β)F_A = \frac{mg \sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)}, FB=mgsin⁡αsin⁡(α+β)F_B = \frac{mg \sin\alpha}{\sin(\alpha + \beta)} Dla α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ: FA=mgcos⁡α=mg32F_A = mg \cos\alpha = mg \frac{\sqrt{3}}{2}, FB=mgsin⁡α=12mgF_B = mg \sin\alpha = \frac{1}{2}mg Wartości liczbowe: - dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: FA≈4330 N=4,33 kNF_A \approx 4330\,\text{N} = 4{,}33\,\text{kN}, FB=2500 N=2,50 kNF_B = 2500\,\text{N} = 2{,}50\,\text{kN} - dla g=9,81 m/s2g = 9{,}81\,\text{m/s}^2: FA≈4248 N≈4,25 kNF_A \approx 4248\,\text{N} \approx 4{,}25\,\text{kN}, FB=2452,5 N≈2,45 kNF_B = 2452{,}5\,\text{N} \approx 2{,}45\,\text{kN}