Zadanie Zadanie 5.5.18: Warunek startu pionowego ciężkiej rakiety planetarnej

Punkty: 3 pkt
Dział: Energia i pęd · Pęd i zasada zachowania pędu
Trudność: Poziom trudności: średnie

Oblicz minimalną prędkość wyrzutu gazów z silników rakiety transportowej Titan-X o masie startowej 2 400 000 kg, przy której siła ciągu zrównoważy siłę grawitacji, umożliwiając pionowy start z platformy.

Treść zadania

Ciężka komercyjna rakieta transportowa misji planetarnej (moduł Titan-X) przygotowuje się do pionowego startu z platformy startowej na Ziemi. Całkowita masa startowa rakiety wraz z paliwem wynosi

M = 2\,400\,000\,\text{kg}

(

2400\,\text{t}

). Silniki pierwszego stopnia w momencie zapłonu spalają paliwo i wyrzucają gazy wylotowe ze stałą szybkością masową

\frac{\Delta m}{\Delta t} = 1{,}0 \cdot 10^4\,\text{kg/s}

. Prędkość gazów

u

względem dysz silnika jest stała i skierowana pionowo w dół. Wyznacz minimalną wartość prędkości względnej gazów

u_{\min}

, przy której siła ciągu silników zrównoważy początkowy ciężar rakiety, co stanowi warunek konieczny do oderwania się rakiety od platformy startowej. Wykonaj obliczenia dla przyspieszenia ziemskiego

g = 9{,}81\,\text{m/s}^2

oraz dla wartości przybliżonej

g = 10\,\text{m/s}^2

. Wyjaśnij, jaki warunek musi spełniać rzeczywista prędkość gazów

u

, aby rakieta uniosła się w górę z niezerowym przyspieszeniem.

Odpowiedź i wynik końcowy

Dla

g = 10\,\text{m/s}^2

u_{\min} = 2400\,\text{m/s} = 2{,}4\,\text{km/s}

. Dla

g = 9{,}81\,\text{m/s}^2

u_{\min} \approx 2354{,}4\,\text{m/s} \approx 2{,}35\,\text{km/s}

. Warunek startu z przyspieszeniem pionowym ku górze:

u > u_{\min}