Zadanie 10.2.9: Opis ruchu harmonicznego na podstawie wykresu x(t)

Punkty
4 pkt
Dział
Ruch drgający · Badanie ruchu drgającego. Drgania harmoniczne / Badanie ruchu drgającego
Trudność
Poziom trudności: łatwe
Przebieg wychylenia ciała drgającego harmonicznie przedstawiono na wykresie: ```chart { "xAxis": { "label": "t [s]" }, "yAxis": { "label": "x [cm]" }, "lines": [ {"x": 0, "y": 0}, {"x": 0.5, "y": 1.41}, {"x": 1, "y": 2}, {"x": 1.5, "y": 1.41}, {"x": 2, "y": 0}, {"x": 2.5, "y": -1.41}, {"x": 3, "y": -2}, {"x": 3.5, "y": -1.41}, {"x": 4, "y": 0}, {"x": 4.5, "y": 1.41}, {"x": 5, "y": 2}, {"x": 5.5, "y": 1.41}, {"x": 6, "y": 0}, {"x": 6.5, "y": -1.41}, {"x": 7, "y": -2}, {"x": 7.5, "y": -1.41}, {"x": 8, "y": 0}, {"x": 8.5, "y": 1.41}, {"x": 9, "y": 2}, {"x": 9.5, "y": 1.41}, {"x": 10, "y": 0}, {"x": 10.5, "y": -1.41}, {"x": 11, "y": -2}, {"x": 11.5, "y": -1.41}, {"x": 12, "y": 0} ] } ``` Na jego podstawie: a) wyznacz równanie x(t)x(t), b) oblicz maksymalną szybkość, c) naszkicuj wykres v(t)v(t), d) podaj przedziały czasu, w których szybkość rośnie.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) x(t)=2sin⁡(π2t) cmx(t) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right)\text{ cm} (w jednostkach SI: x(t)=0,02sin⁡(0,5πt) mx(t) = 0,02 \sin(0,5\pi t)\text{ m}) b) vmax⁡=π cm/s≈3,14 cm/s=0,0314 m/sv_{\max} = \pi\text{ cm/s} \approx 3,14\text{ cm/s} = 0,0314\text{ m/s} c) Wykres to cosinusoida o amplitudzie vmax⁡=π cm/sv_{\max} = \pi\text{ cm/s} i okresie T=4 sT = 4\text{ s}: v(t)=πcos⁡(π2t) cm/sv(t) = \pi \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right)\text{ cm/s} d) Wartość prędkości wzrasta podczas powrotu do położenia równowagi (x→0x \to 0), czyli w przedziałach: (1 s;2 s)(1\text{ s}; 2\text{ s}), (3 s;4 s)(3\text{ s}; 4\text{ s}), (5 s;6 s)(5\text{ s}; 6\text{ s}), (7 s;8 s)(7\text{ s}; 8\text{ s}), (9 s;10 s)(9\text{ s}; 10\text{ s}), (11 s;12 s)(11\text{ s}; 12\text{ s}) a: x(t)=2sin⁡(π2t) cmx(t) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right)\text{ cm} (w jednostkach SI: x(t)=0,02sin⁡(0,5πt) mx(t) = 0,02 \sin(0,5\pi t)\text{ m}) b: vmax⁡=π cm/s≈3,14 cm/s=0,0314 m/sv_{\max} = \pi\text{ cm/s} \approx 3,14\text{ cm/s} = 0,0314\text{ m/s} c: Wykres to cosinusoida o amplitudzie vmax⁡=π cm/sv_{\max} = \pi\text{ cm/s} i okresie T=4 sT = 4\text{ s}: v(t)=πcos⁡(π2t) cm/sv(t) = \pi \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right)\text{ cm/s} d: Wartość prędkości wzrasta podczas powrotu do położenia równowagi (x→0x \to 0), czyli w przedziałach: (1 s;2 s)(1\text{ s}; 2\text{ s}), (3 s;4 s)(3\text{ s}; 4\text{ s}), (5 s;6 s)(5\text{ s}; 6\text{ s}), (7 s;8 s)(7\text{ s}; 8\text{ s}), (9 s;10 s)(9\text{ s}; 10\text{ s}), (11 s;12 s)(11\text{ s}; 12\text{ s})