Zadanie 10.5.20: Funkcje energii kinetycznej ciężarka na linie bungee

Punkty
4 pkt
Dział
Ruch drgający · Energia w ruchu harmonicznym
Trudność
Poziom trudności: średnie
Do pionowo zwisającej liny bungee przymocowano obciążnik o masie m=5 kgm=5\text{ kg}. W równowadze lina jest rozciągnięta o x0=50 cmx_0=50\text{ cm}. Obciążnik odciągnięto o A=25 cmA=25\text{ cm} w dół i puszczono. Przyjmij g=10 m/s2g=10\text{ m/s}^2. a) Zapisz energię kinetyczną obciążnika jako funkcję jego wychylenia. b) Podaj funkcję energii kinetycznej od czasu, licząc od chwili puszczenia obciążnika. Parametry funkcji wyraź w podstawowych jednostkach SI.

Treść zadania

Do pionowo zwisającej liny bungee przymocowano obciążnik o masie m=5 kgm=5\text{ kg}. W równowadze lina jest rozciągnięta o x0=50 cmx_0=50\text{ cm}. Obciążnik odciągnięto o A=25 cmA=25\text{ cm} w dół i puszczono. Przyjmij g=10 m/s2g=10\text{ m/s}^2. Traktuj linę jako idealną sprężynę liniową spełniającą prawo Hooke’a i załóż, że pozostaje napięta. Wychylenie xx mierz od statycznego położenia równowagi, a zwrot w dół przyjmij jako dodatni. a) Zapisz energię kinetyczną obciążnika jako funkcję jego wychylenia. b) Podaj funkcję energii kinetycznej od czasu, licząc od chwili puszczenia obciążnika. Parametry funkcji wyraź w podstawowych jednostkach SI.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) Ek(x)=3,125−50x2 [J]E_k(x) = 3{,}125 - 50x^2\text{ [J]} dla x∈[−0,25 m;0,25 m]x \in [-0{,}25\text{ m}; 0{,}25\text{ m}] (lub Ek(x)=50(0,0625−x2)E_k(x) = 50(0{,}0625 - x^2)) b) Ek(t)=3,125sin⁡2(20 t) [J]≈3,125sin⁡2(4,47t) [J]E_k(t) = 3{,}125 \sin^2(\sqrt{20}\, t)\text{ [J]} \approx 3{,}125 \sin^2(4{,}47 t)\text{ [J]} a: a) Ek(x)=3,125−50x2 [J]E_k(x) = 3{,}125 - 50x^2\text{ [J]} dla x∈[−0,25 m;0,25 m]x \in [-0{,}25\text{ m}; 0{,}25\text{ m}] (lub Ek(x)=50(0,0625−x2)E_k(x) = 50(0{,}0625 - x^2)) b: b) Ek(t)=3,125sin⁡2(20 t) [J]≈3,125sin⁡2(4,47t) [J]E_k(t) = 3{,}125 \sin^2(\sqrt{20}\, t)\text{ [J]} \approx 3{,}125 \sin^2(4{,}47 t)\text{ [J]}