Zadanie 10.5.21: Wyprowadzenie energii potencjalnej małych drgań wahadła

Punkty
3 pkt
Dział
Ruch drgający · Energia w ruchu harmonicznym
Trudność
Poziom trudności: trudne
Dla ciężarka wahadła energia potencjalna względem najniższego położenia wynosi Epg=mghE_{pg}=mgh, gdzie hh jest przyrostem wysokości. Pokaż, że przy małych wychyleniach liniowych xx wahadła o długości ll energia ta jest proporcjonalna do x2x^2 i można ją zapisać jako Epg(x)=12mω2x2.E_{pg}(x)=\frac12m\omega^2x^2. Skorzystaj z przybliżeń cos⁡α≈1−12α2\cos\alpha\approx1-\frac12\alpha^2 oraz x≈lαx\approx l\alpha.

Odpowiedź i wynik końcowy

Przeprowadzono dowód zależności Epg(x)=12mω2x2E_{pg}(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2. Wyrażono wysokość jako h=l(1−cos⁡α)≈12x2lh = l(1 - \cos\alpha) \approx \frac{1}{2}\frac{x^2}{l}, a po podstawieniu do wzoru Epg=mghE_{pg} = mgh oraz wykorzystaniu zależności ω2=gl\omega^2 = \frac{g}{l} wykazano, że energia potencjalna jest wprost proporcjonalna do kwadratu wychylenia: Epg(x)=12mω2x2E_{pg}(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2.