Zadanie 2.5.13: Rozmieszczenie kulek na nitce dla równych odstępów czasu uderzeń

Punkty
3 pkt
Dział
Ruch prostoliniowy · Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny
Trudność
Poziom trudności: trudne

Treść zadania

Na długiej nitce zawieszono kilka małych kulek o jednakowej masie. Chcemy, aby podczas swobodnego spadania nitki kulki uderzały o podłogę w jednakowych odstępach czasu Δt\Delta t. a) Wykaż, że wysokości yny_n zawieszenia kolejnych kulek od dolnego końca nitki (stykającego się z podłogą w chwili początkowej t=0t=0) muszą rosnąć proporcjonalnie do kwadratów liczb naturalnych (1,4,9,16,…1, 4, 9, 16, \dots). b) Wykaż, że odległości dnd_n między sąsiednimi kulkami na nitce muszą się mieć do siebie tak, jak kolejne liczby nieparzyste (1:3:5:7:…1 : 3 : 5 : 7 : \dots).

Odpowiedź i wynik końcowy

a) Ponieważ droga w spadku swobodnym to y(t)=12gt2y(t) = \frac{1}{2}gt^2, uderzenie w chwilach tn=nΔtt_n = n \Delta t wymaga wysokości początkowej yn=k⋅n2y_n = k \cdot n^2, gdzie k=12gΔt2k = \frac{1}{2}g\Delta t^2. b) Odległość między sąsiednimi kulkami wynosi dn=yn−yn−1=k(2n−1)d_n = y_n - y_{n-1} = k(2n - 1). Dla kolejnych kulek otrzymujemy stosunek 1:3:5:7:…1 : 3 : 5 : 7 : \dots