Zadanie Zadanie 3.2.15: Zderzenie pocisku z rzutką wystrzeloną z wieży

Punkty
5 pkt
Dział
Ruch krzywoliniowy · Rzut poziomy i ukośny
Trudność
Poziom trudności: trudne

Treść zadania

Z wieży o wysokości H = 12,8 m wystrzelono poziomo pocisk z prędkością v_1 = 14 m/s w stronę rzutki startującej u podnóża wieży z prędkością v_2 pod kątem α do poziomu. Pocisk i rzutka są punktami materialnymi, poruszają się w tej samej płaszczyźnie i ruszają w tej samej chwili. a) Zapisz równania położenia obu obiektów i podaj warunki, które muszą spełniać ich współrzędne, aby doszło do trafienia. b) Powyżej jakiej wartości kąta α rzutka może zostać trafiona przed upadkiem na ziemię? c) Sprawdź, czy trafienie jest możliwe dla α = 45°; jeśli tak, oblicz wymaganą prędkość v_2.

Odpowiedź

a) Równania ruchu: - Pocisk: x1(t)=v1⋅tx_1(t) = v_1 \cdot t, y1(t)=H−gt22y_1(t) = H - \frac{g t^2}{2} - Rzutka: x2(t)=v2⋅cos⁡(α)⋅tx_2(t) = v_2 \cdot \cos(\alpha) \cdot t, y2(t)=v2⋅sin⁡(α)⋅t−gt22y_2(t) = v_2 \cdot \sin(\alpha) \cdot t - \frac{g t^2}{2} Warunki zderzenia: x1(tz)=x2(tz)x_1(t_z) = x_2(t_z) oraz y1(tz)=y2(tz)>0y_1(t_z) = y_2(t_z) > 0 w chwili zderzenia tzt_z. b) Kąt wystrzelenia rzutki musi spełniać warunek: α>29,7∘\alpha > 29{,}7^{\circ} (dla g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2) lub α>29,5∘\alpha > 29{,}5^{\circ} (dla g=9,81 m/s2g = 9{,}81\text{ m/s}^2). c) Tak, rzutka zostanie trafiona. Wymagana prędkość wystrzału wynosi v2=142 m/s≈19,80 m/sv_2 = 14\sqrt{2}\text{ m/s} \approx 19{,}80\text{ m/s}.
Ilustracja do zadaniaPocisk P jest wystrzelony poziomo z wieży wysokości H z prędkością v_1, a rzutka R startuje z podnóża pod kątem α z prędkością v_2. Obie trajektorie rozpoczynają się równocześnie i przecinają w punkcie Z przed upadkiem na ziemię.HPv1RαZv2