Zadanie Zadanie 4.3.12: Zsuwanie się tafli lodu ze spadzistego dachu fotowoltaicznego

Punkty
3 pkt
Dział
Ruch i siły · Siła tarcia
Trudność
Poziom trudności: średnie
W słoneczny zimowy dzień na pochyłym dachu budynku wyposażonym w panele fotowoltaiczne o kącie nachylenia do poziomu α=45∘\alpha = 45^\circ oderwała się od warstwy podkładowej prostokątna tafla lodu o masie m=12,0 kgm = 12,0\,\text{kg} i zaczęła zsuwać się w dół zbocza dachu z zerową prędkością początkową (v0=0v_0 = 0).

Treść zadania

W słoneczny zimowy dzień z dachu budynku pokrytego panelami fotowoltaicznymi odrywa się prostokątna tafla lodu o masie m = 12,0 kg i zaczyna zsuwać się z prędkością początkową v₀ = 0. Dach jest nachylony pod kątem α = 45° do poziomu. Współczynnik tarcia kinetycznego lodu o hydrofobową szybę paneli wynosi μ = 0,15. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s²; wykonaj też obliczenia dla g = 10 m/s². a) Rozłóż ciężar tafli na składową równoległą i prostopadłą do dachu. Następnie wykaż, że przyspieszenie zsuwania nie zależy od masy tafli i wyraża się wzorem a = g(sin α − μ cos α). b) Oblicz przyspieszenie a tafli. c) Oblicz prędkość v tafli oraz przebytą drogę s po czasie t = 0,80 s od rozpoczęcia ruchu.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) Fgx=mgsin⁡αF_{gx} = mg\sin\alpha, Fgy=mgcos⁡αF_{gy} = mg\cos\alpha, FN=mgcos⁡αF_N = mg\cos\alpha. Równanie ruchu: mgsin⁡α−μmgcos⁡α=ma  ⟹  a=g(sin⁡α−μcos⁡α)mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha = ma \implies a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha). Masa mm ulega skróceniu, więc przyspieszenie nie zależy od masy bryły lodu. b) a=g22(1−μ)≈5,90 m/s2a = g\frac{\sqrt{2}}{2}(1 - \mu) \approx 5,90\,\text{m/s}^2 (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: a≈6,01 m/s2a \approx 6,01\,\text{m/s}^2). c) v=at≈4,72 m/sv = at \approx 4,72\,\text{m/s} (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: 4,81 m/s4,81\,\text{m/s}); droga s=12at2≈1,89 ms = \frac{1}{2}at^2 \approx 1,89\,\text{m} (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: 1,92 m1,92\,\text{m}).