Zadanie Zadanie 4.3.14: Graniczny kąt nachylenia i warunek stateczności pojazdu magazynowego na pochylni

Punkty
3 pkt
Dział
Ruch i siły · Siła tarcia
Trudność
Poziom trudności: średnie
Rampa przeładunkowa w magazynie wysokiego składowania ma stały kąt nachylenia do poziomu α=6,0∘\alpha = 6,0^\circ. Na rampie zatrzymano wózek paletowy o masie całkowitej M=350 kgM = 350\,\text{kg} i załączono mechaniczny hamulec postojowy blokujący koła. Współczynnik tarcia statycznego zablokowanych kół o suchą, żywiczną nawierzchnię rampy wynosi μs=0,20\mu_s = 0,20, a współczynnik tarcia kinetycznego wynosi μk=0,15\mu_k = 0,15. Przyjmij przyspieszenie ziemskie g=9,81 m/s2g = 9,81\,\text{m/s}^2 (oraz g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2). Polecenia: a) Wyprowadź ogólny warunek na minimalny współczynnik tarcia statycznego μs,min⁡\mu_{s,\min}, przy którym dowolne ciało nie zsunie się z równi pochyłej o kącie α\alpha. Oblicz wartość μs,min⁡\mu_{s,\min} dla rampy o nachyleniu α=6,0∘\alpha = 6,0^\circ i rozstrzygnij, czy wózek pozostanie w spoczynku. b) Oblicz wartość siły tarcia statycznego TsT_s, jaka rzeczywiście działa na wózek spoczywający na tej rampie, oraz maksymalną siłę tarcia statycznego Ts,max⁡T_{s,\max}. c) W wyniku rozlania oleju na rampie współczynnik tarcia statycznego zmalał do μs′=0,08\mu_s' = 0,08, a kinetycznego do μk′=0,05\mu_k' = 0,05. Wykaż, że wózek ulegnie poślizgowi, i oblicz przyspieszenie aa, z jakim zacznie zjeżdżać w dół rampy.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) Warunek braku poślizgu: μs≥tg⁡α  ⟹  μs,min⁡=tg⁡α\mu_s \ge \operatorname{tg}\alpha \implies \mu_{s,\min} = \operatorname{tg}\alpha. Dla α=6,0∘\alpha = 6,0^\circ: μs,min⁡≈0,105\mu_{s,\min} \approx 0,105. Ponieważ μs=0,20>0,105\mu_s = 0,20 > 0,105, wózek pewnie spoczywa na rampie. b) Rzeczywista siła tarcia statycznego: Ts=Mgsin⁡α≈359 NT_s = Mg\sin\alpha \approx 359\,\text{N} (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: 366 N366\,\text{N}). Maksymalna siła tarcia statycznego: Ts,max⁡=μsMgcos⁡α≈683 NT_{s,\max} = \mu_s Mg\cos\alpha \approx 683\,\text{N} (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: 696 N696\,\text{N}). c) Ponieważ tg⁡(6,0∘)≈0,105>μs′=0,08\operatorname{tg}(6,0^\circ) \approx 0,105 > \mu_s' = 0,08, siła ściągająca pokonuje tarcie statyczne i wózek rusza. Przyspieszenie zsuwu wynosi a=g(sin⁡α−μk′cos⁡α)≈0,54 m/s2a = g(\sin\alpha - \mu_k'\cos\alpha) \approx 0,54\,\text{m/s}^2 (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: a≈0,55 m/s2a \approx 0,55\,\text{m/s}^2). a: a) Warunek braku poślizgu: μs≥tg⁡α  ⟹  μs,min⁡=tg⁡α\mu_s \ge \operatorname{tg}\alpha \implies \mu_{s,\min} = \operatorname{tg}\alpha. Dla α=6,0∘\alpha = 6,0^\circ: μs,min⁡≈0,105\mu_{s,\min} \approx 0,105. Ponieważ μs=0,20>0,105\mu_s = 0,20 > 0,105, wózek pewnie spoczywa na rampie. b: b) Rzeczywista siła tarcia statycznego: Ts=Mgsin⁡α≈359 NT_s = Mg\sin\alpha \approx 359\,\text{N} (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: 366 N366\,\text{N}). Maksymalna siła tarcia statycznego: Ts,max⁡=μsMgcos⁡α≈683 NT_{s,\max} = \mu_s Mg\cos\alpha \approx 683\,\text{N} (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: 696 N696\,\text{N}). c: c) Ponieważ tg⁡(6,0∘)≈0,105>μs′=0,08\operatorname{tg}(6,0^\circ) \approx 0,105 > \mu_s' = 0,08, siła ściągająca pokonuje tarcie statyczne i wózek rusza. Przyspieszenie zsuwu wynosi a=g(sin⁡α−μk′cos⁡α)≈0,54 m/s2a = g(\sin\alpha - \mu_k'\cos\alpha) \approx 0,54\,\text{m/s}^2 (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: a≈0,55 m/s2a \approx 0,55\,\text{m/s}^2).