Zadanie Zadanie 5.3.6: Zależność energii kinetycznej i potencjalnej od czasu w swobodnym spadku

Punkty
3 pkt
Dział
Energia i pęd · Zasada zachowania energii
Trudność
Poziom trudności: średnie
Kapsuła pomiarowa o masie m=0,40 kgm = 0{,}40\,\text{kg} zostaje upuszczona ze spoczynku z platformy badawczej na wysokości H=45 mH = 45\,\text{m} nad poziomem gruntu i spada swobodnie w próżniowej komorze zrzutowej. Pomiń opory ruchu i przyjmij g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2. Oblicz czas spadku, wyznacz zależności Ep(t)E_p(t) oraz Ek(t)E_k(t) i wykaż stałość całkowitej energii mechanicznej.

Treść zadania

Kapsuła pomiarowa o masie m=0,40 kgm = 0{,}40\,\text{kg} zostaje upuszczona ze spoczynku z platformy badawczej na wysokości H=45 mH = 45\,\text{m} nad poziomem gruntu i spada swobodnie w próżniowej komorze zrzutowej. Opory powietrza pomijamy. Przyjmij przyspieszenie ziemskie g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2. a) Wyprowadź wzory matematyczne opisujące zależność energii potencjalnej grawitacji Ep(t)E_p(t) oraz energii kinetycznej Ek(t)E_k(t) kapsuły od czasu trwania spadku tt. b) Oblicz całkowity czas trwania spadku tkt_k i sporządź wykres zależności energii kinetycznej Ek(t)E_k(t) od czasu tt w przedziale [0,tk][0, t_k]. ```chart { "xAxis": { "label": "t [s]" }, "yAxis": { "label": "Ek [J]" }, "lines": [ {"x": 0, "y": 0}, {"x": 1, "y": 20}, {"x": 2, "y": 80}, {"x": 3, "y": 180} ] } ``` c) Wykaż formalnie, że całkowita energia mechaniczna Ec(t)=Ep(t)+Ek(t)E_c(t) = E_p(t) + E_k(t) jest wielkością stałą w czasie i oblicz jej wartość.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) Ep(t)=180−20t2 [J]E_p(t) = 180 - 20t^2\,\text{[J]}, Ek(t)=20t2 [J]E_k(t) = 20t^2\,\text{[J]} dla t∈[0; 3,0 s]t \in [0;\, 3{,}0\,\text{s}] b) tk=3,0 st_k = 3{,}0\,\text{s} c) Ec(t)=Ep(t)+Ek(t)=180 J=constE_c(t) = E_p(t) + E_k(t) = 180\,\text{J} = \text{const} b: tk=3,0 st_k = 3{,}0\,\text{s} c: Ec(t)=Ep(t)+Ek(t)=180 J=constE_c(t) = E_p(t) + E_k(t) = 180\,\text{J} = \text{const}