Zadanie 10.3.15: Okres drgań sprężyn połączonych szeregowo

Do dwóch sprężyn o współczynnikach

k_1

k_2

, połączonych szeregowo, przymocowano masę

m

. Pomijamy masę sprężyn i opory ruchu. Wykaż, że okres małych drgań układu wynosi

T=2\pi\sqrt{m\left(\frac1{k_1}+\frac1{k_2}\right)}.

Wskazówka: na obu sprężynach działa siła o tej samej wartości, a całkowite wydłużenie jest sumą wydłużeń. Wyznacz sztywność zastępczą.

Odpowiedź i wynik końcowy

Dowód przeprowadzono w krokach rozwiązania. Zastępczy współczynnik sprężystości

k_z

dla szeregowego połączenia dwóch sprężyn spełnia relację:

\frac{1}{k_z} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \implies k_z = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}

Podstawienie

k_z

do wzoru na okres drgań wahadła sprężynowego

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_z}}

prowadzi do tożsamości:

T = 2\pi\sqrt{m\left(\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}\right)}