Zadanie 10.4.11: Drgania wahadła matematycznego i sprężynowego w stanie nieważkości

Punkty
3 pkt
Dział
Ruch drgający · Wahadło matematyczne
Trudność
Poziom trudności: średnie

Treść zadania

W spadającej swobodnie kabinie badawczej zamontowano dwa różne układy drgające: wahadło matematyczne o długości nici l=1,00 ml = 1{,}00\text{ m} oraz pionowe wahadło sprężynowe ze sprężyną o współczynniku sprężystości k=60,0 N/mk = 60{,}0\text{ N/m}. Do obu wahadeł przymocowano identyczne obciążniki o masie m=150 gm = 150\text{ g}. Pomiń opory powietrza, masę nici oraz masę sprężyny. Zagadnienie rozpatruj w nieinercjalnym układzie odniesienia kabiny spadającej swobodnie z przyspieszeniem ziemskim g=9,81 m/s2g = 9{,}81\text{ m/s}^2. a) Przeanalizuj układ sił działających na obciążniki obu wahadeł w nieinercjalnym układzie odniesienia kabiny. Wyjaśnij, dlaczego w kabinie panuje stan nieważkości. b) Rozstrzygnij, czy każde z wahadeł może wykonywać drgania w tych warunkach. Jeśli tak — oblicz okres jego drgań TT; jeśli nie — uzasadnij brak możliwości wykonywania drgań na podstawie pojęcia siły zwrotnej.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) W nieinercjalnym układzie odniesienia spadającej kabiny na każdy obciążnik działa siła grawitacji F⃗g=mg⃗\vec{F}_g = m\vec{g} (w dół) oraz siła bezwładności F⃗b=−mg⃗\vec{F}_b = -m\vec{g} (w górę); ich wypadkowa wynosi zero (Fg,eff=0F_{g,\text{eff}} = 0), co oznacza stan nieważkości (geff=0g_{\text{eff}} = 0). b) Wahadło matematyczne nie może drgać, ponieważ brak efektywnego ciążenia oznacza brak siły zwrotnej (Fzwr=0F_{\text{zwr}} = 0, formalnie T→∞T \to \infty). Wahadło sprężynowe wykonuje drgania, a jego okres wynosi Ts=2πmk=0,10π s≈0,31 sT_s = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 0{,}10\pi\text{ s} \approx 0{,}31\text{ s}. a: a) W nieinercjalnym układzie odniesienia spadającej kabiny na każdy obciążnik działa siła grawitacji F⃗g=mg⃗\vec{F}_g = m\vec{g} (w dół) oraz siła bezwładności F⃗b=−mg⃗\vec{F}_b = -m\vec{g} (w górę); ich wypadkowa wynosi zero (Fg,eff=0F_{g,\text{eff}} = 0), co oznacza stan nieważkości (geff=0g_{\text{eff}} = 0). b: b) Wahadło matematyczne nie może drgać, ponieważ brak efektywnego ciążenia oznacza brak siły zwrotnej (Fzwr=0F_{\text{zwr}} = 0, formalnie T→∞T \to \infty). Wahadło sprężynowe wykonuje drgania, a jego okres wynosi Ts=2πmk=0,10π s≈0,31 sT_s = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 0{,}10\pi\text{ s} \approx 0{,}31\text{ s}.