Zadanie 10.4.12: Wyznaczanie przyspieszenia windy z okresów drgań wahadła

Punkty
4 pkt
Dział
Ruch drgający · Wahadło matematyczne
Trudność
Poziom trudności: trudne

Treść zadania

W szybie windowym wieżowca prowadzono pomiary z wykorzystaniem wahadła matematycznego zawieszonego pod sufitem kabiny. Podczas jazdy windy w górę ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem o wartości aa, zmierzony okres drgań wahadła wynosił T1=1,60 sT_1 = 1{,}60\text{ s}. Podczas zbliżania się do najwyższego piętra winda nadal jechała w górę, lecz hamowała ruchem jednostajnie opóźnionym z opóźnieniem o tej samej wartości aa — wówczas okres drgań wynosił T2=2,40 sT_2 = 2{,}40\text{ s}. Przyjmij przyspieszenie ziemskie g=9,81 m/s2g = 9{,}81\text{ m/s}^2 oraz π≈3,14\pi \approx 3{,}14. Pomiń opory ruchu i masę nici. a) Wyprowadź wzory na efektywne przyspieszenie grawitacyjne w obu fazach ruchu windy oraz wykaż, że iloraz kwadratów okresów spełnia zależność (T1T2)2=g−ag+a\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \frac{g - a}{g + a}. b) Wyprowadź wzór ogólny na wartość przyspieszenia windy aa w zależności od gg, T1T_1 oraz T2T_2, a następnie oblicz jego wartość liczbową. c) Oblicz długość nici ll tego wahadła.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) W fazie przyspieszania w górę: g1=g+ag_1 = g + a; w fazie hamowania przy jeździe w górę: g2=g−ag_2 = g - a; stąd (T1T2)2=g−ag+a\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \frac{g - a}{g + a}. b) Wzór ogólny: a=g⋅T22−T12T22+T12=513ga = g \cdot \frac{T_2^2 - T_1^2}{T_2^2 + T_1^2} = \frac{5}{13}g; wartość liczbowa: a≈3,77 m/s2a \approx 3{,}77\text{ m/s}^2. c) Długość nici wahadła: l=(g+a)T124π2≈0,88 ml = \frac{(g + a) T_1^2}{4\pi^2} \approx 0{,}88\text{ m}. a: a) W fazie przyspieszania w górę: g1=g+ag_1 = g + a; w fazie hamowania przy jeździe w górę: g2=g−ag_2 = g - a; stąd (T1T2)2=g−ag+a\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \frac{g - a}{g + a}. b: b) Wzór ogólny: a=g⋅T22−T12T22+T12=513ga = g \cdot \frac{T_2^2 - T_1^2}{T_2^2 + T_1^2} = \frac{5}{13}g; wartość liczbowa: a≈3,77 m/s2a \approx 3{,}77\text{ m/s}^2. c: c) Długość nici wahadła: l=(g+a)T124π2≈0,88 ml = \frac{(g + a) T_1^2}{4\pi^2} \approx 0{,}88\text{ m}.