Zadanie 10.4.19: Niepewność wyznaczania g z pomiarów wahadeł

Punkty
3 pkt
Dział
Ruch drgający · Wahadło matematyczne
Trudność
Poziom trudności: średnie
W doświadczeniu wyznaczano przyspieszenie ziemskie za pomocą sześciu wahadeł o różnych długościach. Dla każdego zestawu pomiarów obliczono wartość gg: $\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}$ $\hline$ Nr wahadła & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ $\hline$ Długość wahadła l [m]l\text{ [m]} & 0,180{,}18 & 0,260{,}26 & 0,370{,}37 & 0,490{,}49 & 0,610{,}61 & 0,900{,}90 \\ $\hline$ Okres drgań T [s]T\text{ [s]} & 0,870{,}87 & 1,031{,}03 & 1,241{,}24 & 1,421{,}42 & 1,571{,}57 & 1,801{,}80 \\ $\hline$ g [ms2]g\text{ }\left[\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\right] & 9,399{,}39 & 9,689{,}68 & 9,509{,}50 & 9,599{,}59 & 9,779{,}77 & 10,9710{,}97 \\ $\hline$ $\end{tabular}$ Niepewność długości każdej nici wynosiła Δl=0,002 m\Delta l=0{,}002\text{ m}, a okresu ΔT=0,02 s\Delta T=0{,}02\text{ s}. a) Wyprowadź zależność na względną niepewność Δgg\frac{\Delta g}{g} i oblicz ją dla każdego wahadła. b) Na podstawie wyników określ, czy dokładniejsze pomiary uzyskuje się przy wahadle krótszym czy dłuższym.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) Względne niepewności pomiarowe dla poszczególnych wahadeł wynoszą: - wahadło 1 (l=0,18 ml = 0{,}18\text{ m}): Δgg≈5,7%\frac{\Delta g}{g} \approx 5{,}7\% - wahadło 2 (l=0,26 ml = 0{,}26\text{ m}): Δgg≈4,7%\frac{\Delta g}{g} \approx 4{,}7\% - wahadło 3 (l=0,37 ml = 0{,}37\text{ m}): Δgg≈3,8%\frac{\Delta g}{g} \approx 3{,}8\% - wahadło 4 (l=0,49 ml = 0{,}49\text{ m}): Δgg≈3,2%\frac{\Delta g}{g} \approx 3{,}2\% - wahadło 5 (l=0,61 ml = 0{,}61\text{ m}): Δgg≈2,9%\frac{\Delta g}{g} \approx 2{,}9\% - wahadło 6 (l=0,90 ml = 0{,}90\text{ m}): Δgg≈2,4%\frac{\Delta g}{g} \approx 2{,}4\% b) Należy użyć wahadła dłuższego. Wraz ze wzrostem długości wahadła ll rośnie również jego okres drgań TT, co powoduje wyraźny spadek obu składowych niepewności względnych: Δll\frac{\Delta l}{l} oraz ΔTT\frac{\Delta T}{T}. W rezultacie względna niepewność pomiarowa Δgg\frac{\Delta g}{g} maleje ponad dwukrotnie (z 5,7%5{,}7\% do 2,4%2{,}4\%). a: a) Względne niepewności pomiarowe dla poszczególnych wahadeł wynoszą: - wahadło 1 (l=0,18 ml = 0{,}18\text{ m}): Δgg≈5,7%\frac{\Delta g}{g} \approx 5{,}7\% - wahadło 2 (l=0,26 ml = 0{,}26\text{ m}): Δgg≈4,7%\frac{\Delta g}{g} \approx 4{,}7\% - wahadło 3 (l=0,37 ml = 0{,}37\text{ m}): Δgg≈3,8%\frac{\Delta g}{g} \approx 3{,}8\% - wahadło 4 (l=0,49 ml = 0{,}49\text{ m}): Δgg≈3,2%\frac{\Delta g}{g} \approx 3{,}2\% - wahadło 5 (l=0,61 ml = 0{,}61\text{ m}): Δgg≈2,9%\frac{\Delta g}{g} \approx 2{,}9\% - wahadło 6 (l=0,90 ml = 0{,}90\text{ m}): Δgg≈2,4%\frac{\Delta g}{g} \approx 2{,}4\% b: b) Należy użyć wahadła dłuższego. Wraz ze wzrostem długości wahadła ll rośnie również jego okres drgań TT, co powoduje wyraźny spadek obu składowych niepewności względnych: Δll\frac{\Delta l}{l} oraz ΔTT\frac{\Delta T}{T}. W rezultacie względna niepewność pomiarowa Δgg\frac{\Delta g}{g} maleje ponad dwukrotnie (z 5,7%5{,}7\% do 2,4%2{,}4\%).