Zadanie 10.6.11: Amplituda drgań wymuszonych oscylatora dwusprężynowego

Punkty
3 pkt
Dział
Ruch drgający · Drgania tłumione i wymuszone. Rezonans
Trudność
Poziom trudności: średnie

Treść zadania

Do przeciwległych brzegów poziomego stołu przytwierdzono końce dwóch identycznych sprężyn o współczynnikach sprężystości k=50 Nmk = 50\text{ }\frac{\text{N}}{\text{m}} każda. Drugie końce obu sprężyn połączono z metalowym klockiem o masie m=0,2 kgm = 0,2\text{ kg}, który może przemieszczać się wzdłuż prostej wyznaczonej przez sprężyny. Blat stołu posmarowano olejem, co pozwala pominąć tarcie klocka o podłoże. Na klocek działa pozioma zmienna siła wymuszająca F(t)=20sin⁡(ωt)F(t) = 20 \sin(\omega t) (w jednostkach SI: amplituda siły wynosi F0=20 NF_0 = 20\text{ N}). Uzupełnij poniższą tabelę, obliczając amplitudę drgań wymuszonych klocka AA (w centymetrach) dla podanych częstości kołowych ω\omega wyrażonych jako wielokrotności częstości drgań własnych ω0\omega_0. Sporządź wykres zależności amplitudy od częstości kołowej i porównaj otrzymaną zależność z rzeczywistą krzywą rezonansową. | ω [rads]\omega\text{ }[\frac{\text{rad}}{\text{s}}] | 0,3ω00,3\omega_0 | 0,5ω00,5\omega_0 | 0,7ω00,7\omega_0 | 0,9ω00,9\omega_0 | 1,1ω01,1\omega_0 | 1,5ω01,5\omega_0 | 2ω02\omega_0 | 3ω03\omega_0 | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **A [cm]A\text{ [cm]}** | | | | | | | | | Do obliczenia amplitudy wykorzystaj wzór: ∣A∣=F0m⋅1∣ω02−ω2∣|A| = \frac{F_0}{m} \cdot \frac{1}{|\omega_0^2 - \omega^2|}

Odpowiedź

Uzupełniona tabela wartości amplitudy drgań: | ω\omega | 0,3ω00,3\omega_0 | 0,5ω00,5\omega_0 | 0,7ω00,7\omega_0 | 0,9ω00,9\omega_0 | 1,1ω01,1\omega_0 | 1,5ω01,5\omega_0 | 2ω02\omega_0 | 3ω03\omega_0 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **A [cm]A\text{ [cm]}** | 22,022,0 | 26,726,7 | 39,239,2 | 105,3105,3 | 95,295,2 | 16,016,0 | 6,76,7 | 2,52,5 | W idealnym modelu bez tłumienia amplituda w punkcie rezonansu dąży do nieskończoności (∣A∣→∞|A| \to \infty dla ω→ω0\omega \to \omega_0). Na rzeczywistej krzywej rezonansowej z tłumieniem amplituda w rezonansie ma zawsze wartość skończoną, maksimum leży przy częstości nieznacznie mniejszej od ω0\omega_0, a ze wzrostem tłumienia krzywa ulega obniżeniu i poszerzeniu.