Zadanie 10.6.12: Tłumienie drgań i praca sił w aktywnym siedzisku maszynisty

Punkty
3 pkt
Dział
Ruch drgający · Drgania tłumione i wymuszone. Rezonans
Trudność
Poziom trudności: trudne

Treść zadania

Model amortyzowanego fotela maszynisty lokomotywy składa się ze sprężyny o współczynniku sprężystości kk, tłumika hydraulicznego TT oraz aktywnego siłownika FF. Zadaniem siłownika jest wytwarzanie siły przeciwdziałającej drganiom fotela lub natychmiastowe tłumienie drgań w przypadku wystąpienia rezonansu. Po początkowym wytrąceniu fotela z położenia równowagi o amplitudę A0A_0, przy każdym kolejnym maksymalnym wychyleniu tłumik hydrauliczny zmniejsza amplitudę drgań o 10%10\% w stosunku do poprzedniej wartości (gdy siłownik jest wyłączony). a) Wyprowadź wzór na energię mechaniczną drgającego fotela dla nn-tej kolejnej amplitudy po początkowym wychyleniu A0A_0 przy wyłączonym siłowniku. b) Oblicz, jaką pracę wykonał tłumik hydrauliczny podczas czterech kolejnych wychyleń po wychyleniu początkowym A0A_0, jeżeli siłownik pozostawał wyłączony. Wynik wyraź jako ułamek początkowej energii mechanicznej E0E_0. c) Po czwartym kolejnym maksymalnym wychyleniu z podpunktu b), przy wyłączonym dotąd siłowniku, siłownik zostaje włączony i wygasza pozostałe drgania. Oblicz jego pracę do chwili, gdy fotel znajdzie się w położeniu równowagi i spoczynku.

Odpowiedź

a) En=12kA02⋅0,92n=E0⋅0,81nE_n = \frac{1}{2} k A_0^2 \cdot 0,9^{2n} = E_0 \cdot 0,81^n (gdzie E0=12kA02E_0 = \frac{1}{2} k A_0^2). b) Praca wykonana przez tłumik wynosi WT=E4−E0=(0,814−1)E0≈−0,57E0≈−0,285kA02W_T = E_4 - E_0 = (0,81^4 - 1) E_0 \approx -0,57 E_0 \approx -0,285 k A_0^2 (tłumik rozproszył ok. 57%57\% energii początkowej; wartość bezwzględna pracy rozproszenia: ∣WT∣≈0,57E0|W_T| \approx 0,57 E_0). c) Po czterech wychyleniach energia pozostała wynosi E4=E0⋅0,814≈0,4305E0E_4=E_0\cdot0{,}81^4\approx0{,}4305E_0. Siłownik zmniejsza ją do zera, więc WF=ΔE=0−E4≈−0,4305E0W_F=\Delta E=0-E_4\approx-0{,}4305E_0. Ujemny znak oznacza, że siłownik odbiera energię; wartość bezwzględna pracy to około 43,05%E043{,}05\% E_0. a: a) En=12kA02⋅0,92n=E0⋅0,81nE_n = \frac{1}{2} k A_0^2 \cdot 0,9^{2n} = E_0 \cdot 0,81^n (gdzie E0=12kA02E_0 = \frac{1}{2} k A_0^2). b: b) Praca wykonana przez tłumik wynosi WT=E4−E0=(0,814−1)E0≈−0,57E0≈−0,285kA02W_T = E_4 - E_0 = (0,81^4 - 1) E_0 \approx -0,57 E_0 \approx -0,285 k A_0^2 (tłumik rozproszył ok. 57%57\% energii początkowej; wartość bezwzględna pracy rozproszenia: ∣WT∣≈0,57E0|W_T| \approx 0,57 E_0). c: c) Siłownik wykonałby pracę WF=0−E0=−E0=−12kA02W_F = 0 - E_0 = -E_0 = -\frac{1}{2} k A_0^2 (wartość bezwzględna pracy: ∣WF∣=E0=12kA02|W_F| = E_0 = \frac{1}{2} k A_0^2, czyli rozproszył 100%100\% początkowej energii mechanicznej).