Zadanie 6.6.5: Moment pędu wirującej karuzeli z dzieckiem i piłką

Punkty: 3 pkt
Dział: Bryła sztywna · Moment pędu bryły sztywnej
Trudność: Poziom trudności: średnie

Na karuzeli tarczowej o masie

M = 24\text{ kg}

i średnicy

D = 1,8\text{ m}

(promień

R = 0,9\text{ m}

) posadzono twarzą w kierunku środka karuzeli dziecko trzymające na kolanach piłkę o masie

m_p = 2\text{ kg}

. Karuzelę wprawiono w ruch obrotowy. W czasie

t = 1\text{ min}

wykonała ona

n_1 = 10

obrotów. a) Ustal, czy prędkość kątowa karuzeli wzrośnie, zmaleje, czy się nie zmieni, jeżeli dziecko potoczy piłkę w kierunku środka karuzeli. Odpowiedź uzasadnij na podstawie zasady zachowania momentu pędu. b) Oblicz prędkość kątową

\omega_2

dla sytuacji, gdy piłka znajdzie się dokładnie na środku tarczy. Przyjmij moment bezwładności karuzeli względem osi przechodzącej przez środek tarczy

I_t = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{8} M D^2

, początkową odległość piłki od środka tarczy

r = 0,8\text{ m}

, moment bezwładności dziecka względem osi przechodzącej przez środek tarczy

I_{dz} = 11,52\text{ kg}\cdot\text{m}^2

. Piłkę traktuj jak punkt materialny. Opory ruchu pomiń.

Treść zadania

Na tarczowej karuzeli o masie M = 24 kg i średnicy D = 1,8 m posadzono dziecko zwrócone twarzą ku środkowi; trzyma ono na kolanach piłkę o masie m_p = 2 kg. Karuzelę wprawiono w ruch obrotowy i w czasie t = 1 min wykonała n_1 = 10 obrotów. a) Ustal, czy prędkość kątowa karuzeli wzrośnie, zmaleje czy się nie zmieni, gdy dziecko potoczy piłkę w stronę środka; uzasadnij odpowiedź zasadą zachowania momentu pędu. b) Oblicz prędkość kątową ω_2, gdy piłka znajdzie się dokładnie na środku tarczy. Przyjmij promień R = 0,9 m, początkową odległość piłki od środka r = 0,8 m, I_t = 1/2 MR² = 1/8 MD² oraz moment bezwładności dziecka I_dz = 11,52 kg·m². Piłkę traktuj jak punkt materialny i pomiń opory ruchu.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) Prędkość kątowa karuzeli wzrośnie. b)

\omega_2 \approx 1,11\text{ rad/s}

a: Prędkość kątowa karuzeli wzrośnie. b:

\omega_2 \approx 1,11\text{ rad/s}