Zadanie Zadanie 4.2.12: Maksymalna wysokość wzniesienia ciała na gładkiej rampie pochyłej

Punkty
3 pkt
Dział
Ruch i siły · Zasady dynamiki Newtona
Trudność
Poziom trudności: średnie
Na zawodach curlingowych metalowy krążek o masie m=18,0 kgm = 18,0\,\text{kg} zostaje pchnięty od podstawy gładkiej rampy lodowej o kącie nachylenia α=30∘\alpha = 30^\circ do poziomu. W chwili rozpoczęcia ruchu na dole pochylni krążkowi nadano prędkość początkową v0=5,00 m/sv_0 = 5,00\,\text{m/s} skierowaną w górę rampy. W obliczeniach pomiń wszelkie opory ruchu. Przyjmij przyspieszenie ziemskie g=9,81 m/s2g = 9,81\,\text{m/s}^2 oraz wykonaj obliczenia także dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2. Polecenia: a) Wyznacz opóźnienie krążka aa podczas ruchu w górę rampy oraz oblicz czas tstopt_{stop}, po którym krążek na ułamek sekundy zatrzyma się w najwyższym punkcie. b) Wyprowadź wzory i oblicz długość drogi ss przebytej przez krążek wzdłuż rampy oraz maksymalną wysokość pionową hh, na jaką wzniesie się krążek. c) Wyjaśnij na gruncie praw mechaniki, dlaczego maksymalna wysokość wzniesienia hh nie zależy od kąta nachylenia rampy α\alpha.

Treść zadania

Krążek używany w curlingu, o masie m=18,0 kgm = 18,0\,\text{kg}, startuje od podstawy gładkiej rampy lodowej nachylonej do poziomu pod kątem α=30∘\alpha = 30^\circ. Nadano mu początkową prędkość v0=5,00 m/sv_0 = 5,00\,\text{m/s} skierowaną w górę pochylni. Pomiń opory ruchu; obliczenia wykonaj dla g=9,81 m/s2g = 9,81\,\text{m/s}^2 oraz także dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2. a) Wyznacz opóźnienie aa krążka podczas wjazdu w górę oraz czas tstopt_{stop}, po którym zatrzyma się na moment w najwyższym punkcie. b) Wyprowadź zależności i oblicz drogę ss przebytą wzdłuż rampy oraz maksymalną wysokość pionową hh. c) Wyjaśnij na podstawie praw mechaniki, dlaczego wartość maksymalna hh nie zależy od kąta nachylenia α\alpha.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) a=gsin⁡α≈4,91 m/s2a = g \sin\alpha \approx 4,91\,\text{m/s}^2 (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: a=5,00 m/s2a = 5,00\,\text{m/s}^2). Czas wznoszenia: tstop≈1,02 st_{stop} \approx 1,02\,\text{s} (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: tstop=1,00 st_{stop} = 1,00\,\text{s}). b) s=v022gsin⁡α≈2,55 ms = \frac{v_0^2}{2g\sin\alpha} \approx 2,55\,\text{m} (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: s=2,50 ms = 2,50\,\text{m}). Maksymalna wysokość: h=v022g≈1,27 mh = \frac{v_0^2}{2g} \approx 1,27\,\text{m} (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: h=1,25 mh = 1,25\,\text{m}). c) Zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej cała energia kinetyczna 12mv02\frac{1}{2}mv_0^2 zamienia się w najwyższym punkcie w energię potencjalną grawitacji mghmgh. Po skróceniu masy otrzymujemy h=v022gh = \frac{v_0^2}{2g}, co zależy wyłącznie od prędkości początkowej v0v_0 i przyspieszenia gg, a nie od geometrii toru czy kąta α\alpha.