Zadanie Zadanie 4.2.9: Dynamika maszyny Atwooda z ruchomym obserwatorem i wspinaczem linowym

Punkty
4 pkt
Dział
Ruch i siły · Zasady dynamiki Newtona
Trudność
Poziom trudności: trudne
Podczas zajęć laboratoryjnych z mechaniki analizowano układ bloczkowy (maszynę Atwooda). Przez lekki, nieruchomy bloczek przewieszono lekką i nierozciągliwą linę. Na jednym końcu liny zawieszono zasobnik z aparaturą pomiarową o masie m=15,0 kgm = 15,0\,\text{kg}. Po drugiej stronie liny znajduje się urządzenie wspinaczkowe (robot inspekcyjny) o masie M=30,0 kgM = 30,0\,\text{kg}. Przeanalizowano trzy niezależne scenariusze: - Scenariusz A: operator na ziemi ciągnie za linę w taki sposób, że zasobnik wznosi się ruchem jednostajnym ze stałą prędkością. - Scenariusz B: robot wyłącza napęd i zawisa bezwładnie na linie, a układ porusza się swobodnie pod wpływem grawitacji. - Scenariusz C: robot uruchamia napęd rolkowy i wspina się w górę po linie ze stałym przyspieszeniem a0=1,50 m/s2a_0 = 1,50\,\text{m/s}^2 mierzonym względem liny. Pomiń masę liny, moment bezwładności bloczka oraz wszelkie opory ruchu. Przyjmij przyspieszenie ziemskie g=9,81 m/s2g = 9,81\,\text{m/s}^2 (oraz g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2). Polecenia: a) Dla scenariusza A oblicz przyspieszenie zasobnika aAa_A oraz siłę naciągu liny TAT_A. b) Wyprowadź wzory i oblicz wartość przyspieszenia zasobnika aBa_B oraz siłę naciągu liny TBT_B w scenariuszu B. c) Wyprowadź wzory i oblicz wartość przyspieszenia unoszenia zasobnika aCa_C oraz siłę naciągu liny TCT_C w scenariuszu C.

Treść zadania

Podczas zajęć laboratoryjnych z mechaniki analizowano układ bloczkowy (maszynę Atwooda). Przez lekki, nieruchomy bloczek przewieszono lekką i nierozciągliwą linę. Na jednym końcu liny zawieszono zasobnik z aparaturą pomiarową o masie m=15,0 kgm = 15,0\,\text{kg}. Po drugiej stronie liny znajduje się urządzenie wspinaczkowe (robot inspekcyjny) o masie M=30,0 kgM = 30,0\,\text{kg}. Przeanalizowano trzy niezależne scenariusze: - Scenariusz A: robot odłącza się od liny. Operator ciągnie w dół za wolny koniec liny, tak aby zasobnik wznosił się ruchem jednostajnym ze stałą prędkością. - Scenariusz B: robot wyłącza napęd i zawisa bezwładnie na linie, a układ porusza się swobodnie pod wpływem grawitacji. - Scenariusz C: robot uruchamia napęd rolkowy i wspina się w górę po linie ze stałym przyspieszeniem a0=1,50 m/s2a_0 = 1,50\,\text{m/s}^2 mierzonym względem liny. Pomiń masę liny, moment bezwładności bloczka oraz wszelkie opory ruchu. Przyjmij przyspieszenie ziemskie g=9,81 m/s2g = 9,81\,\text{m/s}^2 (oraz g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2). Polecenia: a) Dla scenariusza A oblicz przyspieszenie zasobnika aAa_A oraz siłę naciągu liny TAT_A. b) Wyprowadź wzory i oblicz wartość przyspieszenia zasobnika aBa_B oraz siłę naciągu liny TBT_B w scenariuszu B. c) Wyprowadź wzory i oblicz wartość przyspieszenia unoszenia zasobnika aCa_C oraz siłę naciągu liny TCT_C w scenariuszu C.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) aA=0a_A = 0, TA=mg≈147,2 NT_A = mg \approx 147,2\,\text{N} (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: TA=150 NT_A = 150\,\text{N}). b) aB=M−mM+mg≈3,27 m/s2a_B = \frac{M - m}{M + m} g \approx 3,27\,\text{m/s}^2 (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: aB≈3,33 m/s2a_B \approx 3,33\,\text{m/s}^2). Siła naciągu: TB=2MmM+mg≈196,2 NT_B = \frac{2Mm}{M + m} g \approx 196,2\,\text{N} (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: TB=200 NT_B = 200\,\text{N}). c) aC=(M−m)g+Ma0M+m≈4,27 m/s2a_C = \frac{(M - m)g + M a_0}{M + m} \approx 4,27\,\text{m/s}^2 (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: aC=4,33 m/s2a_C = 4,33\,\text{m/s}^2). Siła naciągu: TC=m(g+aC)≈211,2 NT_C = m(g + a_C) \approx 211,2\,\text{N} (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: TC=215 NT_C = 215\,\text{N}). a: a) aA=0a_A = 0, TA=mg≈147,2 NT_A = mg \approx 147,2\,\text{N} (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: TA=150 NT_A = 150\,\text{N}). b: b) aB=M−mM+mg≈3,27 m/s2a_B = \frac{M - m}{M + m} g \approx 3,27\,\text{m/s}^2 (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: aB≈3,33 m/s2a_B \approx 3,33\,\text{m/s}^2). Siła naciągu: TB=2MmM+mg≈196,2 NT_B = \frac{2Mm}{M + m} g \approx 196,2\,\text{N} (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: TB=200 NT_B = 200\,\text{N}). c: c) aC=(M−m)g+Ma0M+m≈4,27 m/s2a_C = \frac{(M - m)g + M a_0}{M + m} \approx 4,27\,\text{m/s}^2 (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: aC=4,33 m/s2a_C = 4,33\,\text{m/s}^2). Siła naciągu: TC=m(g+aC)≈211,2 NT_C = m(g + a_C) \approx 211,2\,\text{N} (dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: TC=215 NT_C = 215\,\text{N}).