Zadanie Zadanie 4.4.18: Ruch kulki wewnątrz sferycznej czaszy

Punkty
3 pkt
Dział
Ruch i siły · Siła dośrodkowa
Trudność
Poziom trudności: średnie
Wewnątrz gładkiej czaszy sferycznej o promieniu r=0,25 mr = 0,25\,\text{m} umieszczono małą kulkę o masie m=0,02 kgm = 0,02\,\text{kg}. Kulka porusza się po okręgu o promieniu R=0,15 mR = 0,15\,\text{m} w płaszczyźnie poziomej, stykając się z powierzchnią czaszy. Oblicz prędkość kątową ω\omega kulki oraz siłę nacisku FnF_n, jaką kulka wywiera na ściankę naczynia. Przyjmij przyspieszenie ziemskie g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2.

Treść zadania

Kulka o masie m=5 gm = 5\,\text{g} porusza się po okręgu o promieniu R=8 cmR = 8\,\text{cm} wewnątrz sferycznego naczynia, którego promień wynosi r=10 cmr = 10\,\text{cm}. Dane: - masa kulki m=5 g=0,005 kgm = 5\,\text{g} = 0,005\,\text{kg}, - promień naczynia r=10 cm=0,10 mr = 10\,\text{cm} = 0,10\,\text{m}, - promień toru R=8 cm=0,08 mR = 8\,\text{cm} = 0,08\,\text{m}, - g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2. Wyznacz: a) prędkość kątową ω\omega kulki, b) wartość siły nacisku FnF_n, którą kulka działa na ścianę naczynia.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) ω=gh=100,06≈12,91 rad/s\omega = \sqrt{\frac{g}{h}} = \sqrt{\frac{10}{0,06}} \approx 12,91\,\text{rad/s}; b) Fn=m⋅gcos⁡θ=0,05 N0,6≈0,0833 N≈0,083 NF_n = \frac{m \cdot g}{\cos \theta} = \frac{0,05\,\text{N}}{0,6} \approx 0,0833\,\text{N} \approx 0,083\,\text{N}.