Zadanie Zadanie 6.1.12: Środek masy układu trzech robotów w płaszczyźnie 2D

Punkty
4 pkt
Dział
Bryła sztywna · Ruch postępowy i obrotowy bryły sztywnej. Środek masy
Trudność
Poziom trudności: trudne
Trzy roboty transportowe o masach m1=20 kgm_1 = 20\,\text{kg}, m2=30 kgm_2 = 30\,\text{kg} oraz m3=50 kgm_3 = 50\,\text{kg} znajdują się w punktach A=(2 m;1 m)A = (2\,\text{m}; 1\,\text{m}), B=(4 m;6 m)B = (4\,\text{m}; 6\,\text{m}), C=(8 m;2 m)C = (8\,\text{m}; 2\,\text{m}). Oblicz masę całkowitą, współrzędne środka masy układu oraz określ jego położenie względem trójkąta ABC.

Treść zadania

Trzy roboty transportowe o masach m1=20 kgm_1 = 20\,\text{kg}, m2=30 kgm_2 = 30\,\text{kg} oraz m3=50 kgm_3 = 50\,\text{kg} znajdują się na poziomej posadzce hali magazynowej w punktach o współrzędnych: A=(2 m;1 m)A = (2\,\text{m}; 1\,\text{m}), B=(4 m;6 m)B = (4\,\text{m}; 6\,\text{m}), C=(8 m;2 m)C = (8\,\text{m}; 2\,\text{m}). Oblicz: 1. Całkowitą masę MM układu trzech robotów. 2. Współrzędne (xSM,ySM)(x_{SM}, y_{SM}) środka masy tego układu. 3. Sprawdź i uzasadnij, czy środek masy układu leży wewnątrz trójkąta ABCABC wyznaczonego przez położenia robotów.

Odpowiedź i wynik końcowy

1. Całkowita masa układu: M=100 kgM = 100\,\text{kg}. 2. Współrzędne środka masy: SSM=(5,6 m;3,0 m)S_{SM} = (5{,}6\,\text{m}; 3{,}0\,\text{m}). 3. Środek masy układu leży wewnątrz trójkąta ABCABC, ponieważ jego wektor położenia jest ściśle dodatnią kombinacją wypukłą wektorów wierzchołków trójkąta (α1=0,2\alpha_1 = 0{,}2, α2=0,3\alpha_2 = 0{,}3, α3=0,5\alpha_3 = 0{,}5). 1: M=100 kgM = 100\,\text{kg} 2: SSM=(5,6 m;3,0 m)S_{SM} = (5{,}6\,\text{m}; 3{,}0\,\text{m}) 3: Środek masy układu leży wewnątrz trójkąta ABCABC, ponieważ jego wektor położenia jest ściśle dodatnią kombinacją wypukłą wektorów wierzchołków trójkąta (α1=0,2\alpha_1 = 0{,}2, α2=0,3\alpha_2 = 0{,}3, α3=0,5\alpha_3 = 0{,}5).