Zadanie Zadanie 6.1.13: Wykrywanie egzoplanety metodą prędkości radialnych

Punkty
4 pkt
Dział
Bryła sztywna · Ruch postępowy i obrotowy bryły sztywnej. Środek masy
Trudność
Poziom trudności: trudne
Astrofizycy badają układ planetarny składający się z gwiazdy o masie M∗=2⋅1030 kgM_* = 2 \cdot 10^{30}\,\text{kg} oraz gazowej olbrzymiej egzoplanety. Spektrometr mierzy okresowe zmiany prędkości radialnej gwiazdy wywołane jej ruchem wokół wspólnego środka masy układu. Zmierzona prędkość orbitalna gwiazdy to v∗=15 m/sv_* = 15\,\text{m/s}, okres obiegu T=1,26⋅108 sT = 1{,}26 \cdot 10^8\,\text{s}, a odległość planety od środka masy to rp=3⋅1011 mr_p = 3 \cdot 10^{11}\,\text{m}. Oblicz promień orbity gwiazdy r∗r_* oraz masę egzoplanety mpm_p. Przyjmij π≈3,14\pi \approx 3{,}14.

Treść zadania

Astrofizycy badają układ planetarny składający się z gwiazdy o masie M∗=2⋅1030 kgM_* = 2 \cdot 10^{30}\,\text{kg} oraz krążącej wokół niej gazowej olbrzymiej egzoplanety. Spektrometr mierzy okresowe zmiany prędkości radialnej gwiazdy wywołane jej ruchem wokół wspólnego środka masy układu. Zmierzona amplituda prędkości orbitalnej gwiazdy wynosi v∗=15 m/sv_* = 15\,\text{m/s}, a okres obiegu wynosi T=1,26⋅108 sT = 1{,}26 \cdot 10^8\,\text{s} (ok. 4 lata). Odległość planety od wspólnego środka masy wynosi rp=3⋅1011 mr_p = 3 \cdot 10^{11}\,\text{m}. Oblicz: 1. Promień kołowej orbity gwiazdy r∗r_* wokół wspólnego środka masy układu. 2. Masę egzoplanety mpm_p, korzystając z warunku położenia środka masy M∗r∗=mprpM_* r_* = m_p r_p. 3. Porównaj masę planety z masą Jowisza (MJ≈1,9⋅1027 kgM_J \approx 1{,}9 \cdot 10^{27}\,\text{kg}). (Przyjmij π≈3,14\pi \approx 3{,}14).

Odpowiedź i wynik końcowy

1. Promień orbity gwiazdy wokół środka masy: r∗≈3,01⋅108 m=301 000 kmr_* \approx 3{,}01 \cdot 10^8\,\text{m} = 301\,000\,\text{km}. 2. Masa egzoplanety: mp≈2,01⋅1027 kgm_p \approx 2{,}01 \cdot 10^{27}\,\text{kg}. 3. Stosunek masy planety do masy Jowisza: mpMJ≈1,06\frac{m_p}{M_J} \approx 1{,}06 (masa planety jest o około 6%6\% większa od masy Jowisza). 1: r∗≈3,01⋅108 m=301 000 kmr_* \approx 3{,}01 \cdot 10^8\,\text{m} = 301\,000\,\text{km} 2: mp≈2,01⋅1027 kgm_p \approx 2{,}01 \cdot 10^{27}\,\text{kg} 3: mpMJ≈1,06\frac{m_p}{M_J} \approx 1{,}06